Номер 6.1, страница 37, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

а) Докажем формулу общего члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + d(n-1)$ методом математической индукции по $n$.

Шаг 1: База индукции.

Проверим справедливость формулы для начального значения $n=1$.

Подставляем $n=1$ в формулу: $a_1 = a_1 + d(1-1) = a_1 + d \cdot 0 = a_1$.

Равенство $a_1 = a_1$ является верным. База индукции выполнена.

Шаг 2: Индукционное предположение.

Предположим, что формула верна для некоторого натурального числа $n=k$, то есть:

$a_k = a_1 + d(k-1)$

Шаг 3: Индукционный переход.

Докажем, что если формула верна для $n=k$, то она верна и для следующего числа $n=k+1$. То есть, нам нужно доказать, что $a_{k+1} = a_1 + d((k+1)-1) = a_1 + dk$.

По определению арифметической прогрессии, каждый следующий член получается из предыдущего прибавлением разности прогрессии $d$: $a_{k+1} = a_k + d$.

Используя индукционное предположение для $a_k$, получаем:

$a_{k+1} = (a_1 + d(k-1)) + d = a_1 + dk - d + d = a_1 + dk$.

Мы получили в точности ту формулу, которую требовалось доказать для $n=k+1$. Индукционный переход доказан.

Таким образом, по принципу математической индукции, формула $a_n = a_1 + d(n-1)$ верна для всех натуральных чисел $n$.

Ответ: Формула общего члена арифметической прогрессии доказана методом математической индукции.

б) Докажем формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии $S_n = \frac{(2a_1 + d(n-1))n}{2}$ методом математической индукции по $n$.

Шаг 1: База индукции.

Проверим справедливость формулы для $n=1$. Сумма первого члена $S_1$ по определению равна $a_1$.

Подставляем $n=1$ в формулу: $S_1 = \frac{(2a_1 + d(1-1)) \cdot 1}{2} = \frac{(2a_1 + 0) \cdot 1}{2} = \frac{2a_1}{2} = a_1$.

Равенство $S_1 = a_1$ является верным. База индукции выполнена.

Шаг 2: Индукционное предположение.

Предположим, что формула верна для некоторого натурального числа $n=k$:

$S_k = \frac{(2a_1 + d(k-1))k}{2}$

Шаг 3: Индукционный переход.

Докажем, что если формула верна для $n=k$, то она верна и для $n=k+1$. Нам нужно доказать, что $S_{k+1} = \frac{(2a_1 + d((k+1)-1))(k+1)}{2} = \frac{(2a_1 + dk)(k+1)}{2}$.

По определению суммы, $S_{k+1} = S_k + a_{k+1}$. Используем индукционное предположение для $S_k$ и формулу для $a_{k+1} = a_1 + dk$ (доказанную в пункте а):

$S_{k+1} = \frac{(2a_1 + d(k-1))k}{2} + (a_1 + dk)$

Приведем к общему знаменателю и преобразуем числитель:

$S_{k+1} = \frac{(2a_1 + dk - d)k + 2(a_1 + dk)}{2} = \frac{2a_1k + dk^2 - dk + 2a_1 + 2dk}{2} = \frac{2a_1k + 2a_1 + dk^2 + dk}{2}$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общий множитель $(k+1)$:

$S_{k+1} = \frac{2a_1(k+1) + dk(k+1)}{2} = \frac{(2a_1 + dk)(k+1)}{2}$

Полученное выражение совпадает с тем, что требовалось доказать. Индукционный переход доказан.

Следовательно, по принципу математической индукции, формула верна для всех натуральных $n$.

Ответ: Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии доказана методом математической индукции.

в) Докажем формулу общего члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 q^{n-1}$ методом математической индукции по $n$.

Шаг 1: База индукции.

Проверим справедливость формулы для $n=1$.

Подставляем $n=1$ в формулу: $b_1 = b_1 q^{1-1} = b_1 q^0 = b_1 \cdot 1 = b_1$.

Равенство $b_1 = b_1$ верно. База индукции выполнена.

Шаг 2: Индукционное предположение.

Предположим, что формула верна для некоторого натурального числа $n=k$:

$b_k = b_1 q^{k-1}$

Шаг 3: Индукционный переход.

Докажем, что если формула верна для $n=k$, то она верна и для $n=k+1$. То есть, нам нужно доказать, что $b_{k+1} = b_1 q^{(k+1)-1} = b_1 q^k$.

По определению геометрической прогрессии, $b_{k+1} = b_k \cdot q$.

Используя индукционное предположение для $b_k$, получаем:

$b_{k+1} = (b_1 q^{k-1}) \cdot q = b_1 q^{k-1+1} = b_1 q^k$.

Мы получили требуемую формулу для $n=k+1$. Индукционный переход доказан.

Таким образом, по принципу математической индукции, формула $b_n = b_1 q^{n-1}$ верна для всех натуральных чисел $n$.

Ответ: Формула общего члена геометрической прогрессии доказана методом математической индукции.

г) Докажем формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$ при $q \neq 1$ методом математической индукции по $n$.

Шаг 1: База индукции.

Проверим справедливость формулы для $n=1$. По определению $S_1 = b_1$.

Подставляем $n=1$ в формулу: $S_1 = \frac{b_1(1-q^1)}{1-q} = \frac{b_1(1-q)}{1-q} = b_1$.

Равенство $S_1 = b_1$ верно. База индукции выполнена.

Шаг 2: Индукционное предположение.

Предположим, что формула верна для некоторого натурального числа $n=k$:

$S_k = \frac{b_1(1-q^k)}{1-q}$

Шаг 3: Индукционный переход.

Докажем, что если формула верна для $n=k$, то она верна и для $n=k+1$. Нам нужно доказать, что $S_{k+1} = \frac{b_1(1-q^{k+1})}{1-q}$.

По определению суммы, $S_{k+1} = S_k + b_{k+1}$. Используем индукционное предположение для $S_k$ и формулу для $b_{k+1} = b_1 q^k$ (доказанную в пункте в):

$S_{k+1} = \frac{b_1(1-q^k)}{1-q} + b_1 q^k$

Приведем к общему знаменателю:

$S_{k+1} = \frac{b_1(1-q^k) + b_1 q^k (1-q)}{1-q} = \frac{b_1 - b_1 q^k + b_1 q^k - b_1 q^{k+1}}{1-q}$

Сократим слагаемые $-b_1 q^k$ и $+b_1 q^k$ в числителе:

$S_{k+1} = \frac{b_1 - b_1 q^{k+1}}{1-q} = \frac{b_1(1-q^{k+1})}{1-q}$

Полученное выражение совпадает с тем, что требовалось доказать. Индукционный переход доказан.

Следовательно, по принципу математической индукции, формула верна для всех натуральных $n$ при $q \neq 1$.

Ответ: Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии доказана методом математической индукции.