Номер 5.17, страница 37, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 5. Модуль действительного числа. Глава 1. Действительные числа. ч. 2 - номер 5.17, страница 37.

5.17. a) $|x + 5| > 5x - 7$;

б) $|x^2 + x - 5| > 3x$;

В) $|7x + 4| \ge 6 + 5x$;

Г) $|-x^2 - x| \ge 4x - 2$.

а) Решим неравенство $|x + 5| > 5x - 7$.

Для решения неравенств с модулем вида $|f(x)| > g(x)$ рассмотрим два случая, в зависимости от знака подмодульного выражения.

Случай 1: Подмодульное выражение неотрицательно, т.е. $x + 5 \ge 0$, откуда $x \ge -5$.
В этом случае модуль раскрывается со знаком плюс, и неравенство принимает вид:
$x + 5 > 5x - 7$
$5 + 7 > 5x - x$
$12 > 4x$
$x < 3$
Учитывая условие $x \ge -5$, получаем решение для этого случая: $x \in [-5, 3)$.

Случай 2: Подмодульное выражение отрицательно, т.е. $x + 5 < 0$, откуда $x < -5$.
В этом случае модуль раскрывается со знаком минус, и неравенство принимает вид:
$-(x + 5) > 5x - 7$
$-x - 5 > 5x - 7$
$7 - 5 > 5x + x$
$2 > 6x$
$x < \frac{2}{6}$ или $x < \frac{1}{3}$
Учитывая условие $x < -5$, получаем решение для этого случая: $x \in (-\infty, -5)$.

Объединение решений из двух случаев дает окончательный ответ:
$(-\infty, -5) \cup [-5, 3) = (-\infty, 3)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 3)$.

б) Решим неравенство $|x^2 + x - 5| > 3x$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x^2 + x - 5 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + x - 5 = 0$. Дискриминант $D = 1^2 - 4(1)(-5) = 21$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{2}$.
Таким образом, условие $x^2 + x - 5 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, \frac{-1 - \sqrt{21}}{2}] \cup [\frac{-1 + \sqrt{21}}{2}, \infty)$.
В этом случае неравенство имеет вид $x^2 + x - 5 > 3x$, или $x^2 - 2x - 5 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 5 = 0$. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4(1)(-5) = 24$. Корни: $x_{3,4} = \frac{2 \pm \sqrt{24}}{2} = 1 \pm \sqrt{6}$.
Решение неравенства $x^2 - 2x - 5 > 0$ есть $x \in (-\infty, 1 - \sqrt{6}) \cup (1 + \sqrt{6}, \infty)$.
Найдем пересечение этого решения с условием случая 1. Так как $\frac{-1 - \sqrt{21}}{2} < 1 - \sqrt{6}$ и $\frac{-1 + \sqrt{21}}{2} < 1 + \sqrt{6}$, пересечение множеств дает: $x \in (-\infty, \frac{-1 - \sqrt{21}}{2}] \cup (1 + \sqrt{6}, \infty)$.

Случай 2: $x^2 + x - 5 < 0$, то есть $x \in (\frac{-1 - \sqrt{21}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{21}}{2})$.
В этом случае неравенство имеет вид $-(x^2 + x - 5) > 3x$, или $-x^2 - x + 5 > 3x$, что равносильно $x^2 + 4x - 5 < 0$.
Корни уравнения $x^2 + 4x - 5 = 0$ по теореме Виета равны $1$ и $-5$.
Решение неравенства $x^2 + 4x - 5 < 0$ есть $x \in (-5, 1)$.
Найдем пересечение этого решения с условием случая 2. Так как $-5 < \frac{-1 - \sqrt{21}}{2}$ и $1 < \frac{-1 + \sqrt{21}}{2}$, пересечение множеств дает: $x \in (\frac{-1 - \sqrt{21}}{2}, 1)$.

Объединим решения, полученные в обоих случаях:
$(-\infty, \frac{-1 - \sqrt{21}}{2}] \cup (1 + \sqrt{6}, \infty) \cup (\frac{-1 - \sqrt{21}}{2}, 1) = (-\infty, 1) \cup (1 + \sqrt{6}, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (1 + \sqrt{6}, \infty)$.

в) Решим неравенство $|7x + 4| \ge 6 + 5x$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $7x + 4 \ge 0$, то есть $x \ge -\frac{4}{7}$.
Неравенство принимает вид:
$7x + 4 \ge 6 + 5x$
$2x \ge 2$
$x \ge 1$
Пересекая с условием $x \ge -\frac{4}{7}$, получаем $x \in [1, \infty)$.

Случай 2: $7x + 4 < 0$, то есть $x < -\frac{4}{7}$.
Неравенство принимает вид:
$-(7x + 4) \ge 6 + 5x$
$-7x - 4 \ge 6 + 5x$
$-10 \ge 12x$
$x \le -\frac{10}{12}$ или $x \le -\frac{5}{6}$
Пересекая с условием $x < -\frac{4}{7}$ (учитывая, что $-\frac{5}{6} < -\frac{4}{7}$), получаем $x \in (-\infty, -\frac{5}{6}]$.

Объединяя решения из двух случаев, получаем окончательный ответ:
$(-\infty, -\frac{5}{6}] \cup [1, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{5}{6}] \cup [1, \infty)$.

г) Решим неравенство $|-x^2 - x| \ge 4x - 2$.

Так как $|-A| = |A|$, неравенство можно переписать в виде $|x^2 + x| \ge 4x - 2$.
Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x^2 + x \ge 0$, то есть $x(x+1) \ge 0$. Это выполняется при $x \in (-\infty, -1] \cup [0, \infty)$.
В этом случае неравенство имеет вид $x^2 + x \ge 4x - 2$, что равносильно $x^2 - 3x + 2 \ge 0$.
Корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$ равны $1$ и $2$.
Решение неравенства $x^2 - 3x + 2 \ge 0$ есть $x \in (-\infty, 1] \cup [2, \infty)$.
Найдем пересечение с условием случая 1: $((-\infty, -1] \cup [0, \infty)) \cap ((-\infty, 1] \cup [2, \infty)) = (-\infty, -1] \cup [0, 1] \cup [2, \infty)$.

Случай 2: $x^2 + x < 0$, то есть $x \in (-1, 0)$.
В этом случае неравенство имеет вид $-(x^2 + x) \ge 4x - 2$, что равносильно $-x^2 - x \ge 4x - 2$, или $x^2 + 5x - 2 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 5x - 2 = 0$. Дискриминант $D = 5^2 - 4(1)(-2) = 33$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{33}}{2}$.
Решение неравенства $x^2 + 5x - 2 \le 0$ есть $x \in [\frac{-5 - \sqrt{33}}{2}, \frac{-5 + \sqrt{33}}{2}]$.
Найдем пересечение с условием случая 2, то есть с интервалом $(-1, 0)$. Так как $\frac{-5 - \sqrt{33}}{2} < -1$ и $0 < \frac{-5 + \sqrt{33}}{2}$, то интервал $(-1,0)$ полностью входит в найденное решение. Таким образом, решение для этого случая есть $x \in (-1, 0)$.

Объединим решения, полученные в обоих случаях:
$((-\infty, -1] \cup [0, 1] \cup [2, \infty)) \cup (-1, 0) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup [2, \infty)$.