Номер 5.15, страница 37, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

5.15. a) $|x + 4| = 2x$;

Б) $|x - 14| = 8 + 2x$;

В) $|x^2 - 4x| = 3x$;

Г) $|x^2 + 7x| = 4x + 10.$

а) Решим уравнение $|x + 4| = 2x$.
По определению модуля, выражение в правой части уравнения не может быть отрицательным, поэтому должно выполняться условие $2x \ge 0$, откуда $x \ge 0$. Это является областью допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения.
Уравнение $|A| = B$ (при $B \ge 0$) равносильно совокупности двух уравнений: $A = B$ или $A = -B$.
Применим это к нашей задаче:
1) $x + 4 = 2x$
$4 = 2x - x$
$x = 4$
Проверяем, удовлетворяет ли корень ОДЗ ($x \ge 0$). Да, $4 \ge 0$. Следовательно, $x=4$ является решением.
2) $x + 4 = -2x$
$x + 2x = -4$
$3x = -4$
$x = -4/3$
Проверяем, удовлетворяет ли корень ОДЗ ($x \ge 0$). Нет, $-4/3 < 0$. Следовательно, это посторонний корень.
Таким образом, у уравнения есть только один корень.
Ответ: 4.

б) Решим уравнение $|x - 14| = 8 + 2x$.
Область допустимых значений определяется неравенством $8 + 2x \ge 0$.
$2x \ge -8$
$x \ge -4$
Раскроем модуль, рассмотрев два случая:
1) $x - 14 = 8 + 2x$
$x - 2x = 8 + 14$
$-x = 22$
$x = -22$
Этот корень не удовлетворяет ОДЗ ($x \ge -4$), поэтому он является посторонним.
2) $x - 14 = -(8 + 2x)$
$x - 14 = -8 - 2x$
$x + 2x = 14 - 8$
$3x = 6$
$x = 2$
Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($x \ge -4$).
Проверим найденный корень: $|2 - 14| = |-12| = 12$. Правая часть: $8 + 2(2) = 8 + 4 = 12$. Равенство $12 = 12$ верное.
Ответ: 2.

в) Решим уравнение $|x^2 - 4x| = 3x$.
ОДЗ: $3x \ge 0$, что означает $x \ge 0$.
Раскрываем модуль:
1) $x^2 - 4x = 3x$
$x^2 - 7x = 0$
$x(x - 7) = 0$
Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 7$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \ge 0$).
2) $x^2 - 4x = -3x$
$x^2 - x = 0$
$x(x - 1) = 0$
Отсюда получаем еще два корня: $x_3 = 0$ и $x_4 = 1$. Оба корня также удовлетворяют ОДЗ.
Объединяем все найденные уникальные корни.
Ответ: 0; 1; 7.

г) Решим уравнение $|x^2 + 7x| = 4x + 10$.
ОДЗ: $4x + 10 \ge 0$.
$4x \ge -10$
$x \ge -10/4$, то есть $x \ge -2.5$.
Раскрываем модуль:
1) $x^2 + 7x = 4x + 10$
$x^2 + 3x - 10 = 0$
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.
$x_1 = \frac{-3 + 7}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$.
$x_2 = \frac{-3 - 7}{2 \cdot 1} = \frac{-10}{2} = -5$.
Проверяем корни по ОДЗ ($x \ge -2.5$). Корень $x_1 = 2$ подходит. Корень $x_2 = -5$ не подходит.
2) $x^2 + 7x = -(4x + 10)$
$x^2 + 7x = -4x - 10$
$x^2 + 11x + 10 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -11, а произведение равно 10. Корни: $x_3 = -1$ и $x_4 = -10$.
Проверяем корни по ОДЗ ($x \ge -2.5$). Корень $x_3 = -1$ подходит. Корень $x_4 = -10$ не подходит.
В итоге получаем два решения.
Ответ: -1; 2.