Номер 5.20, страница 37, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

5.20. a) Какие значения может принимать $|x - y|$, если $|x - a| = 7$, $|y - a| = 16$;

б) какие значения может принимать $|a - b|$, если $|x - a| = 3$, $|x - b| = 5?

а)

По условию задачи имеем два равенства с модулями: $|x - a| = 7$ и $|y - a| = 16$. Геометрически это означает, что на числовой прямой расстояние от точки $x$ до точки $a$ равно 7, а расстояние от точки $y$ до точки $a$ равно 16.

Из равенства $|x - a| = 7$ следует, что разность $x - a$ может быть равна $7$ или $-7$.

Аналогично, из равенства $|y - a| = 16$ следует, что разность $y - a$ может быть равна $16$ или $-16$.

Нам необходимо найти возможные значения выражения $|x - y|$. Для этого выразим разность $x - y$ через известные нам разности. Вычтем и прибавим $a$:

$x - y = x - a - y + a = (x - a) - (y - a)$

Теперь рассмотрим все четыре возможные комбинации значений для $(x - a)$ и $(y - a)$:

1. Если $x - a = 7$ и $y - a = 16$, то $x - y = 7 - 16 = -9$. В этом случае, $|x - y| = |-9| = 9$.

2. Если $x - a = 7$ и $y - a = -16$, то $x - y = 7 - (-16) = 7 + 16 = 23$. В этом случае, $|x - y| = |23| = 23$.

3. Если $x - a = -7$ и $y - a = 16$, то $x - y = -7 - 16 = -23$. В этом случае, $|x - y| = |-23| = 23$.

4. Если $x - a = -7$ и $y - a = -16$, то $x - y = -7 - (-16) = -7 + 16 = 9$. В этом случае, $|x - y| = |9| = 9$.

Таким образом, выражение $|x - y|$ может принимать два различных значения.

Ответ: 9 или 23.

б)

По условию задачи имеем равенства $|x - a| = 3$ и $|x - b| = 5$. Геометрически это означает, что расстояние от точки $x$ до точки $a$ равно 3, а расстояние от той же точки $x$ до точки $b$ равно 5.

Из равенства $|x - a| = 3$ следует, что $x - a = 3$ или $x - a = -3$.

Из равенства $|x - b| = 5$ следует, что $x - b = 5$ или $x - b = -5$.

Нам необходимо найти возможные значения выражения $|a - b|$. Выразим разность $a - b$ через известные нам разности с участием $x$:

$a - b = a - x + x - b = (x - b) - (x - a)$

Теперь рассмотрим все четыре возможные комбинации значений для $(x - a)$ и $(x - b)$:

1. Если $x - b = 5$ и $x - a = 3$, то $a - b = 5 - 3 = 2$. В этом случае, $|a - b| = |2| = 2$.

2. Если $x - b = 5$ и $x - a = -3$, то $a - b = 5 - (-3) = 5 + 3 = 8$. В этом случае, $|a - b| = |8| = 8$.

3. Если $x - b = -5$ и $x - a = 3$, то $a - b = -5 - 3 = -8$. В этом случае, $|a - b| = |-8| = 8$.

4. Если $x - b = -5$ и $x - a = -3$, то $a - b = -5 - (-3) = -5 + 3 = -2$. В этом случае, $|a - b| = |-2| = 2$.

Таким образом, выражение $|a - b|$ может принимать два различных значения.

Ответ: 2 или 8.