Номер 6.4, страница 38, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 6. Метод математической индукции. Глава 1. Действительные числа. ч. 2 - номер 6.4, страница 38.

Докажите, что при любом натуральном значении n выполняется равенство:

6.4. a) $1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$

б) $1 + 4 + 7 + \dots + (3n - 2) = \frac{n(3n - 1)}{2}$

в) $5 + 6 + 7 + \dots + (n + 4) = \frac{n(n + 9)}{2}$

г) $1,6 + 3,1 + 4,6 + \dots + (1,5n + 0,1) = \frac{n(3n + 3,4)}{4}$

а) Левая часть равенства представляет собой сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии. В этой прогрессии первый член $a_1 = 1$, $n$-й член $a_n = n$, а количество членов равно $n$.
Сумма $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Подставим в формулу значения $a_1$ и $a_n$:
$S_n = \frac{1 + n}{2} \cdot n = \frac{n(n + 1)}{2}$.
Полученное выражение совпадает с правой частью исходного равенства.
Ответ: Доказано.

б) Левая часть равенства представляет собой сумму членов арифметической прогрессии.
Первый член этой прогрессии $a_1 = 1$. Разность прогрессии $d = 4 - 1 = 3$.
Общий член прогрессии имеет вид $a_k = a_1 + (k-1)d = 1 + (k-1)3 = 1 + 3k - 3 = 3k - 2$.
Последний член в сумме равен $3n - 2$. Из формулы общего члена видно, что это $n$-й член прогрессии, т.е. $a_n = 3n - 2$, и в сумме ровно $n$ членов.
Воспользуемся формулой суммы $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Подставим наши значения:
$S_n = \frac{1 + (3n - 2)}{2} \cdot n = \frac{3n - 1}{2} \cdot n = \frac{n(3n - 1)}{2}$.
Полученное выражение совпадает с правой частью исходного равенства.
Ответ: Доказано.

в) Сумма $5 + 6 + 7 + ... + (n + 4)$ является суммой членов арифметической прогрессии.
Первый член прогрессии $a_1 = 5$, а разность $d = 6 - 5 = 1$.
Найдем количество членов в этой прогрессии. Формула $k$-го члена: $a_k = a_1 + (k-1)d = 5 + (k-1) \cdot 1 = k + 4$.
Последний член равен $n + 4$. Приравняем его к формуле $k$-го члена, чтобы найти количество членов, которое мы обозначим как $m$: $m + 4 = n + 4$, откуда следует, что $m=n$. Значит, в сумме $n$ членов.
Таким образом, первый член $a_1 = 5$, $n$-й член $a_n = n + 4$, и количество членов равно $n$.
Применим формулу суммы: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
$S_n = \frac{5 + (n + 4)}{2} \cdot n = \frac{n + 9}{2} \cdot n = \frac{n(n + 9)}{2}$.
Полученное выражение совпадает с правой частью исходного равенства.
Ответ: Доказано.

г) Сумма $1,6 + 3,1 + 4,6 + ... + (1,5n + 0,1)$ является суммой членов арифметической прогрессии.
Первый член $a_1 = 1,6$.
Разность прогрессии $d = 3,1 - 1,6 = 1,5$.
Формула $k$-го члена прогрессии: $a_k = a_1 + (k-1)d = 1,6 + (k-1) \cdot 1,5 = 1,6 + 1,5k - 1,5 = 1,5k + 0,1$.
Последний член суммы равен $1,5n + 0,1$. Сравнивая с формулой $k$-го члена, видим, что это $n$-й член прогрессии, $a_n = 1,5n + 0,1$. Значит, в сумме $n$ членов.
Воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Подставим наши значения:
$S_n = \frac{1,6 + (1,5n + 0,1)}{2} \cdot n = \frac{1,5n + 1,7}{2} \cdot n = \frac{n(1,5n + 1,7)}{2}$.
Чтобы привести полученное выражение к виду в правой части равенства, умножим числитель и знаменатель на 2:
$S_n = \frac{2 \cdot n(1,5n + 1,7)}{2 \cdot 2} = \frac{n(2 \cdot 1,5n + 2 \cdot 1,7)}{4} = \frac{n(3n + 3,4)}{4}$.
Полученное выражение совпадает с правой частью исходного равенства.
Ответ: Доказано.