Номер 6.7, страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Докажите, что при любом натуральном значении $n$ выполняется равенство:

6.7. а) $1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \dots + n(3n + 1) = n(n + 1)^2$;

б) $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n(n + 1) = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{3}$;

в) $1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + \dots + (2n - 1)(2n + 1) = \frac{n(4n^2 + 6n - 1)}{3}$;

г) $2 \cdot 5 + 5 \cdot 8 + 8 \cdot 11 + \dots + (3n - 1)(3n + 2) = n(3n^2 + 6n + 1).$

a) Докажем данное равенство $1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \dots + n(3n + 1) = n(n + 1)^2$ методом математической индукции.

1. База индукции.

Проверим истинность утверждения для $n=1$.

Левая часть: $S_1 = 1 \cdot (3 \cdot 1 + 1) = 1 \cdot 4 = 4$.

Правая часть: $1 \cdot (1 + 1)^2 = 1 \cdot 2^2 = 4$.

Так как $4=4$, утверждение верно для $n=1$.

2. Индукционный переход.

Предположим, что равенство верно для некоторого натурального $n=k$, то есть:

$S_k = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + \dots + k(3k + 1) = k(k + 1)^2$.

Докажем, что равенство верно и для $n=k+1$, то есть $S_{k+1} = (k+1)((k+1)+1)^2 = (k+1)(k+2)^2$.

Рассмотрим сумму $S_{k+1}$:

$S_{k+1} = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + \dots + k(3k + 1) + (k+1)(3(k+1) + 1)$.

Используя индукционное предположение, заменим часть суммы:

$S_{k+1} = S_k + (k+1)(3k + 3 + 1) = k(k + 1)^2 + (k+1)(3k+4)$.

Вынесем общий множитель $(k+1)$ за скобки:

$S_{k+1} = (k+1) [k(k+1) + (3k+4)] = (k+1)(k^2 + k + 3k + 4) = (k+1)(k^2 + 4k + 4)$.

Выражение в скобках является полным квадратом $(k+2)^2$:

$S_{k+1} = (k+1)(k+2)^2$.

Полученное выражение совпадает с тем, что требовалось доказать для $n=k+1$.

Следовательно, по принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального значения $n$.

Ответ: Равенство доказано.

б) Докажем данное равенство $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n(n + 1) = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{3}$ методом математической индукции.

1. База индукции.

Проверим истинность утверждения для $n=1$.

Левая часть: $S_1 = 1 \cdot (1+1) = 2$.

Правая часть: $\frac{1(1+1)(1+2)}{3} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3} = 2$.

Так как $2=2$, утверждение верно для $n=1$.

2. Индукционный переход.

Предположим, что равенство верно для некоторого натурального $n=k$, то есть:

$S_k = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + k(k + 1) = \frac{k(k + 1)(k + 2)}{3}$.

Докажем, что равенство верно и для $n=k+1$, то есть $S_{k+1} = \frac{(k+1)((k+1)+1)((k+1)+2)}{3} = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$.

Рассмотрим сумму $S_{k+1}$:

$S_{k+1} = S_k + (k+1)((k+1)+1) = \frac{k(k+1)(k+2)}{3} + (k+1)(k+2)$.

Вынесем общий множитель $(k+1)(k+2)$ за скобки:

$S_{k+1} = (k+1)(k+2) \left(\frac{k}{3} + 1\right) = (k+1)(k+2) \left(\frac{k+3}{3}\right)$.

$S_{k+1} = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$.

Полученное выражение совпадает с тем, что требовалось доказать для $n=k+1$.

Следовательно, по принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального значения $n$.

Ответ: Равенство доказано.

в) Докажем данное равенство $1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + \dots + (2n - 1)(2n + 1) = \frac{n(4n^2 + 6n - 1)}{3}$ методом математической индукции.

1. База индукции.

Проверим истинность утверждения для $n=1$.

Левая часть: $S_1 = (2 \cdot 1 - 1)(2 \cdot 1 + 1) = 1 \cdot 3 = 3$.

Правая часть: $\frac{1(4 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 - 1)}{3} = \frac{4+6-1}{3} = \frac{9}{3} = 3$.

Так как $3=3$, утверждение верно для $n=1$.

2. Индукционный переход.

Предположим, что равенство верно для некоторого натурального $n=k$, то есть:

$S_k = 1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + \dots + (2k - 1)(2k + 1) = \frac{k(4k^2 + 6k - 1)}{3}$.

Докажем, что равенство верно и для $n=k+1$, то есть $S_{k+1} = \frac{(k+1)(4(k+1)^2 + 6(k+1) - 1)}{3}$.

Рассмотрим сумму $S_{k+1}$:

$S_{k+1} = S_k + (2(k+1)-1)(2(k+1)+1) = \frac{k(4k^2 + 6k - 1)}{3} + (2k+1)(2k+3)$.

Раскроем скобки и приведем к общему знаменателю:

$S_{k+1} = \frac{4k^3 + 6k^2 - k}{3} + 4k^2 + 8k + 3 = \frac{4k^3 + 6k^2 - k + 3(4k^2 + 8k + 3)}{3}$.

$S_{k+1} = \frac{4k^3 + 6k^2 - k + 12k^2 + 24k + 9}{3} = \frac{4k^3 + 18k^2 + 23k + 9}{3}$.

Теперь преобразуем правую часть для $n=k+1$:

$\frac{(k+1)(4(k+1)^2 + 6(k+1) - 1)}{3} = \frac{(k+1)(4(k^2+2k+1) + 6k+6 - 1)}{3}$.

$= \frac{(k+1)(4k^2+8k+4 + 6k+5)}{3} = \frac{(k+1)(4k^2+14k+9)}{3}$.

Раскроем скобки в числителе: $k(4k^2+14k+9) + 1(4k^2+14k+9) = 4k^3+14k^2+9k+4k^2+14k+9 = 4k^3+18k^2+23k+9$.

Таким образом, $S_{k+1} = \frac{4k^3 + 18k^2 + 23k + 9}{3}$, что совпадает с вычисленным нами значением.

Следовательно, по принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального значения $n$.

Ответ: Равенство доказано.

г) Докажем данное равенство $2 \cdot 5 + 5 \cdot 8 + \dots + (3n - 1)(3n + 2) = n(3n^2 + 6n + 1)$ методом математической индукции.

1. База индукции.

Проверим истинность утверждения для $n=1$.

Левая часть: $S_1 = (3 \cdot 1 - 1)(3 \cdot 1 + 2) = 2 \cdot 5 = 10$.

Правая часть: $1(3 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 + 1) = 3+6+1 = 10$.

Так как $10=10$, утверждение верно для $n=1$.

2. Индукционный переход.

Предположим, что равенство верно для некоторого натурального $n=k$, то есть:

$S_k = 2 \cdot 5 + 5 \cdot 8 + \dots + (3k - 1)(3k + 2) = k(3k^2 + 6k + 1)$.

Докажем, что равенство верно и для $n=k+1$, то есть $S_{k+1} = (k+1)(3(k+1)^2 + 6(k+1) + 1)$.

Рассмотрим сумму $S_{k+1}$:

$S_{k+1} = S_k + (3(k+1)-1)(3(k+1)+2) = k(3k^2 + 6k + 1) + (3k+2)(3k+5)$.

Раскроем скобки:

$S_{k+1} = (3k^3 + 6k^2 + k) + (9k^2 + 15k + 6k + 10) = 3k^3 + 15k^2 + 22k + 10$.

Теперь преобразуем правую часть для $n=k+1$:

$(k+1)(3(k+1)^2 + 6(k+1) + 1) = (k+1)(3(k^2+2k+1) + 6k+6 + 1)$.

$= (k+1)(3k^2+6k+3 + 6k+7) = (k+1)(3k^2+12k+10)$.

Раскроем скобки: $k(3k^2+12k+10) + 1(3k^2+12k+10) = 3k^3+12k^2+10k+3k^2+12k+10 = 3k^3+15k^2+22k+10$.

Таким образом, $S_{k+1} = 3k^3 + 15k^2 + 22k + 10$, что совпадает с вычисленным нами значением.

Следовательно, по принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального значения $n$.

Ответ: Равенство доказано.