Номер 6.14, страница 40, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

6.14. Рассмотрите три утверждения, начните их доказывать в указанном порядке методом математической индукции и определите, какое из них является верным для любого натурального значения n, а какие — нет:

a) $2 + 7 + 14 + ... + (n^2 + 2n - 1) = \frac{n(2n^2 + 9n + 2)}{6}$

$2 + 7 + 14 + ... + (n^2 + 2n - 1) = \frac{n(2n^2 + 7n + 3)}{6}$

$2 + 7 + 14 + ... + (n^2 + 2n - 1) = \frac{n(2n^2 + 9n + 1)}{6}$

б) $1 + \frac{3}{2} + \frac{7}{4} + \frac{15}{8} + ... + \frac{2^n - 1}{2^{n-1}} = 2^{1-n} + 2n$

$1 + \frac{3}{2} + \frac{7}{4} + \frac{15}{8} + ... + \frac{2^n - 1}{2^{n-1}} = 3^{1-n} + 3(n - 1)$

$1 + \frac{3}{2} + \frac{7}{4} + \frac{15}{8} + ... + \frac{2^n - 1}{2^{n-1}} = 2^{1-n} + 2(n - 1)$

a)

Рассмотрим сумму $S_n = 2 + 7 + 14 + ... + (n^2 + 2n - 1)$. Общий член суммы $a_n = n^2 + 2n - 1$. Будем проверять каждое из трех утверждений методом математической индукции.

1. $2 + 7 + 14 + ... + (n^2 + 2n - 1) = \frac{n(2n^2 + 9n + 2)}{6}$
Проверим базу индукции при $n=1$.
Левая часть равенства: $S_1 = 2$.
Правая часть равенства: $\frac{1 \cdot (2 \cdot 1^2 + 9 \cdot 1 + 2)}{6} = \frac{2+9+2}{6} = \frac{13}{6}$.
Поскольку $2 \neq \frac{13}{6}$, база индукции не выполняется.
Ответ: Утверждение неверно.

2. $2 + 7 + 14 + ... + (n^2 + 2n - 1) = \frac{n(2n^2 + 7n + 3)}{6}$
Проверим базу индукции при $n=1$.
Левая часть: $S_1 = 2$.
Правая часть: $\frac{1 \cdot (2 \cdot 1^2 + 7 \cdot 1 + 3)}{6} = \frac{2+7+3}{6} = \frac{12}{6} = 2$.
База индукции $n=1$ выполняется. Проверим индукционный шаг.
Предположим, что формула верна для $n=k$: $S_k = \frac{k(2k^2 + 7k + 3)}{6}$.
Докажем, что она верна для $n=k+1$: $S_{k+1} = S_k + a_{k+1}$.
$a_{k+1} = (k+1)^2 + 2(k+1) - 1 = k^2+2k+1+2k+2-1 = k^2+4k+2$.
$S_{k+1} = \frac{k(2k^2 + 7k + 3)}{6} + k^2+4k+2 = \frac{2k^3+7k^2+3k+6k^2+24k+12}{6} = \frac{2k^3+13k^2+27k+12}{6}$.
Теперь рассмотрим правую часть формулы для $n=k+1$:
$\frac{(k+1)(2(k+1)^2 + 7(k+1) + 3)}{6} = \frac{(k+1)(2(k^2+2k+1) + 7k+7+3)}{6} = \frac{(k+1)(2k^2+11k+12)}{6} = \frac{2k^3+11k^2+12k+2k^2+11k+12}{6} = \frac{2k^3+13k^2+23k+12}{6}$.
Так как $\frac{2k^3+13k^2+27k+12}{6} \neq \frac{2k^3+13k^2+23k+12}{6}$, индукционный шаг не выполняется.
Ответ: Утверждение неверно.

3. $2 + 7 + 14 + ... + (n^2 + 2n - 1) = \frac{n(2n^2 + 9n + 1)}{6}$
Проверим базу индукции при $n=1$.
Левая часть: $S_1 = 2$.
Правая часть: $\frac{1 \cdot (2 \cdot 1^2 + 9 \cdot 1 + 1)}{6} = \frac{2+9+1}{6} = \frac{12}{6} = 2$.
База индукции выполняется. Проверим индукционный шаг.
Предположим, что формула верна для $n=k$: $S_k = \frac{k(2k^2 + 9k + 1)}{6}$.
Докажем, что она верна для $n=k+1$: $S_{k+1} = S_k + a_{k+1}$.
$a_{k+1} = k^2+4k+2$.
$S_{k+1} = \frac{k(2k^2 + 9k + 1)}{6} + k^2+4k+2 = \frac{2k^3+9k^2+k+6k^2+24k+12}{6} = \frac{2k^3+15k^2+25k+12}{6}$.
Теперь рассмотрим правую часть формулы для $n=k+1$:
$\frac{(k+1)(2(k+1)^2 + 9(k+1) + 1)}{6} = \frac{(k+1)(2(k^2+2k+1) + 9k+9+1)}{6} = \frac{(k+1)(2k^2+13k+12)}{6} = \frac{2k^3+13k^2+12k+2k^2+13k+12}{6} = \frac{2k^3+15k^2+25k+12}{6}$.
Результаты совпали, индукционный шаг выполнен.
Ответ: Утверждение верно.

б)

Рассмотрим сумму $T_n = 1 + \frac{3}{2} + \frac{7}{4} + ... + \frac{2^n - 1}{2^{n-1}}$. Общий член суммы $b_n = \frac{2^n - 1}{2^{n-1}}$. Будем проверять каждое из трех утверждений.

1. $1 + \frac{3}{2} + \frac{7}{4} + ... + \frac{2^n - 1}{2^{n-1}} = 2^{1-n} + 2n$
Проверим базу индукции при $n=1$.
Левая часть: $T_1 = 1$.
Правая часть: $2^{1-1} + 2 \cdot 1 = 2^0 + 2 = 1+2=3$.
Поскольку $1 \neq 3$, база индукции не выполняется.
Ответ: Утверждение неверно.

2. $1 + \frac{3}{2} + \frac{7}{4} + ... + \frac{2^n - 1}{2^{n-1}} = 3^{1-n} + 3(n-1)$
Проверим базу индукции при $n=1$.
Левая часть: $T_1 = 1$.
Правая часть: $3^{1-1} + 3(1-1) = 3^0 + 0 = 1$.
База $n=1$ выполняется. Проверим для $n=2$.
Левая часть: $T_2 = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$.
Правая часть: $3^{1-2} + 3(2-1) = 3^{-1} + 3 = \frac{1}{3} + 3 = \frac{10}{3}$.
Поскольку $\frac{5}{2} \neq \frac{10}{3}$, утверждение неверно.
Ответ: Утверждение неверно.

3. $1 + \frac{3}{2} + \frac{7}{4} + ... + \frac{2^n - 1}{2^{n-1}} = 2^{1-n} + 2(n-1)$
Проверим базу индукции при $n=1$.
Левая часть: $T_1 = 1$.
Правая часть: $2^{1-1} + 2(1-1) = 2^0 + 0 = 1$.
База индукции выполняется. Проверим индукционный шаг.
Предположим, что формула верна для $n=k$: $T_k = 2^{1-k} + 2(k-1)$.
Докажем, что она верна для $n=k+1$: $T_{k+1} = T_k + b_{k+1}$.
$b_{k+1} = \frac{2^{k+1}-1}{2^{(k+1)-1}} = \frac{2^{k+1}-1}{2^k}$.
$T_{k+1} = (2^{1-k} + 2(k-1)) + \frac{2^{k+1}-1}{2^k} = \frac{2}{2^k} + 2k-2 + \frac{2^{k+1}-1}{2^k} = 2k-2 + \frac{2+2^{k+1}-1}{2^k} = 2k-2 + \frac{1+2 \cdot 2^k}{2^k} = 2k-2 + \frac{1}{2^k} + 2 = 2k + 2^{-k}$.
Теперь рассмотрим правую часть формулы для $n=k+1$:
$2^{1-(k+1)} + 2((k+1)-1) = 2^{-k} + 2k$.
Результаты совпали, индукционный шаг выполнен.
Ответ: Утверждение верно.