Номер 6.18, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Докажите, что для любого натурального значения n справедливо утверждение:

6.18. a) $(n^3 + 35n) : 6$;

б) $(n^3 + 3n^2 + 8n) : 3$;

в) $(n^5 - n) : 30;$

г) $(2n^3 + 3n^2 + 7n) : 6.$

а) Чтобы доказать, что выражение $n^3 + 35n$ делится на 6 для любого натурального $n$, нужно показать, что оно делится на 2 и на 3. Преобразуем выражение, выделив известный член $n^3 - n$, который всегда делится на 6, так как представляет собой произведение трех последовательных чисел $(n-1)n(n+1)$.

$n^3 + 35n = n^3 - n + 36n = (n-1)n(n+1) + 36n$.

Рассмотрим каждое слагаемое:

1. Выражение $(n-1)n(n+1)$ является произведением трех последовательных натуральных чисел. Среди них всегда есть хотя бы одно четное число (делящееся на 2) и ровно одно число, делящееся на 3. Следовательно, их произведение делится на $2 \times 3 = 6$.
2. Выражение $36n$ очевидно делится на 6, так как один из множителей (36) делится на 6.

Поскольку оба слагаемых делятся на 6, их сумма $(n-1)n(n+1) + 36n$ также делится на 6.

Ответ: Утверждение доказано.

б) Чтобы доказать, что выражение $n^3 + 3n^2 + 8n$ делится на 3, преобразуем его.

$n^3 + 3n^2 + 8n = (n^3 - n) + 3n^2 + 9n$.

Рассмотрим каждое слагаемое:

1. Слагаемое $3n^2$ делится на 3.
2. Слагаемое $9n$ делится на 3.
3. Выражение $n^3 - n = n(n^2 - 1) = (n-1)n(n+1)$ является произведением трех последовательных натуральных чисел, одно из которых обязательно делится на 3. Следовательно, $n^3 - n$ делится на 3.

Так как все три слагаемых в выражении $(n^3 - n) + 3n^2 + 9n$ делятся на 3, то и вся сумма делится на 3.

Ответ: Утверждение доказано.

в) Чтобы доказать, что выражение $n^5 - n$ делится на 30, нужно доказать, что оно делится на 2, 3 и 5, так как $30 = 2 \times 3 \times 5$. Разложим выражение на множители:

$n^5 - n = n(n^4 - 1) = n(n^2 - 1)(n^2 + 1) = (n-1)n(n+1)(n^2 + 1)$.

1. Делимость на 6 (на 2 и 3): Множитель $(n-1)n(n+1)$ — это произведение трех последовательных чисел, которое всегда делится на $2 \times 3 = 6$. Следовательно, все выражение $n^5 - n$ делится на 6.
2. Делимость на 5: Преобразуем множитель $(n^2+1)$: $n^2+1 = n^2-4+5$. Тогда выражение можно записать в виде:
   $(n-1)n(n+1)(n^2 - 4 + 5) = (n-1)n(n+1)((n-2)(n+2) + 5)$
   $= (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) + 5(n-1)n(n+1)$.
   Рассмотрим каждое слагаемое:
   • Первое слагаемое $(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$ является произведением пяти последовательных натуральных чисел. Среди них обязательно есть одно число, кратное 5, поэтому все произведение делится на 5.
   • Второе слагаемое $5(n-1)n(n+1)$ очевидно делится на 5.
   Поскольку оба слагаемых делятся на 5, их сумма, равная $n^5 - n$, также делится на 5.

Так как выражение $n^5 - n$ делится на 6 и на 5, а числа 6 и 5 взаимно простые, то оно делится и на их произведение $6 \times 5 = 30$.

Ответ: Утверждение доказано.

г) Чтобы доказать, что выражение $2n^3 + 3n^2 + 7n$ делится на 6, преобразуем его.

$2n^3 + 3n^2 + 7n = (2n^3 - 2n) + 3n^2 + 9n = 2(n^3-n) + 3n(n+3)$.

Рассмотрим каждое слагаемое:

1. Выражение $n^3-n = (n-1)n(n+1)$ является произведением трех последовательных чисел, поэтому оно делится на 6. Следовательно, слагаемое $2(n^3-n)$ делится на $2 \times 6 = 12$, а значит, и на 6.
2. Рассмотрим слагаемое $3n(n+3)$. Чтобы оно делилось на 6, произведение $n(n+3)$ должно быть четным.
   • Если $n$ — четное число, то и все произведение $n(n+3)$ четное.
   • Если $n$ — нечетное число, то $n+3$ (сумма двух нечетных) будет четным числом. Тогда и произведение $n(n+3)$ будет четным.
   Таким образом, $n(n+3)$ всегда четно, т.е. делится на 2. Следовательно, $3n(n+3)$ делится на $3 \times 2 = 6$.

Поскольку оба слагаемых $2(n^3-n)$ и $3n(n+3)$ делятся на 6, их сумма также делится на 6.

Ответ: Утверждение доказано.