Номер 6.21, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

6.21. a) $(6^{2n} + 3^{n+2} + 3^n) : 11;$

б) $(5^{2n+1} + 3^{n+2n-1}) : 19;$

В) $(5^{2+n} + 26 \cdot 5^n + 8^{2n+1}) : 59;$

Г) $(5^n + 3^{2n} - 125) : 45.$

а)

Требуется доказать, что выражение $(6^{2n} + 3^{n+2} + 3^n)$ делится на 11 для любого натурального $n$.

Сначала преобразуем данное выражение, используя свойства степеней $a^{m+k} = a^m \cdot a^k$ и $a^{mk} = (a^m)^k$.

$6^{2n} + 3^{n+2} + 3^n = (6^2)^n + 3^n \cdot 3^2 + 3^n = 36^n + 9 \cdot 3^n + 1 \cdot 3^n$

Сгруппируем последние два слагаемых и вынесем общий множитель $3^n$:

$36^n + (9+1) \cdot 3^n = 36^n + 10 \cdot 3^n$

Чтобы доказать делимость на 11, применим метод алгебраических преобразований. Воспользуемся тем фактом, что разность степеней $a^k - b^k$ всегда делится на $a-b$.

Представим выражение в следующем виде, прибавив и вычтя $3^n$:

$36^n + 10 \cdot 3^n = (36^n - 3^n) + 3^n + 10 \cdot 3^n = (36^n - 3^n) + 11 \cdot 3^n$

Рассмотрим первое слагаемое, $(36^n - 3^n)$. Эта разность делится на $36-3=33$. Поскольку 33 делится на 11 ($33 = 3 \cdot 11$), то и $(36^n - 3^n)$ делится на 11.

Второе слагаемое, $11 \cdot 3^n$, очевидно делится на 11, так как содержит множитель 11.

Сумма двух слагаемых, каждое из которых делится на 11, также делится на 11. Следовательно, исходное выражение $(6^{2n} + 3^{n+2} + 3^n)$ делится на 11.

Ответ: Делимость доказана.

б)

В условии задачи $(5^{2n+1} + 3^{n+2} + 3^{n-1}) \vdots 19$, по всей видимости, содержится опечатка. Проверим это, подставив $n=1$ в выражение:

$5^{2(1)+1} + 3^{1+2} + 3^{1-1} = 5^3 + 3^3 + 3^0 = 125 + 27 + 1 = 153$.

Число 153 не делится нацело на 19, так как $153 = 19 \cdot 8 + 1$. Таким образом, утверждение в задании неверно.

Вероятно, в условии была допущена ошибка, и один из членов выражения должен быть другим. Распространенным вариантом подобных задач является следующий: доказать, что $(5^{2n+1} + 3^{n+2} \cdot 2^{n-1})$ делится на 19. Решим эту скорректированную задачу.

Обозначим выражение как $E = 5^{2n+1} + 3^{n+2} \cdot 2^{n-1}$.

Преобразуем его:

$E = 5 \cdot 5^{2n} + 3^n \cdot 3^2 \cdot 2^n \cdot 2^{-1} = 5 \cdot (5^2)^n + \frac{9}{2} \cdot (3 \cdot 2)^n = 5 \cdot 25^n + \frac{9}{2} \cdot 6^n$.

Чтобы избавиться от дроби, умножим все выражение на 2. Докажем, что $2E$ делится на 19. Так как 19 - простое число и 2 не делится на 19, то делимость $2E$ на 19 равносильна делимости $E$ на 19.

$2E = 2 \cdot (5 \cdot 25^n + \frac{9}{2} \cdot 6^n) = 10 \cdot 25^n + 9 \cdot 6^n$.

Воспользуемся сравнением по модулю 19. Найдем остаток от деления 25 на 19:

$25 = 1 \cdot 19 + 6 \implies 25 \equiv 6 \pmod{19}$.

Подставим это в выражение для $2E$:

$2E \equiv 10 \cdot 6^n + 9 \cdot 6^n \pmod{19}$.

$2E \equiv (10 + 9) \cdot 6^n \pmod{19}$.

$2E \equiv 19 \cdot 6^n \pmod{19}$.

Так как $19 \equiv 0 \pmod{19}$, то $2E \equiv 0 \cdot 6^n \equiv 0 \pmod{19}$.

Мы доказали, что $2E$ делится на 19, а значит и $E$ делится на 19.

Ответ: В исходном условии, вероятно, опечатка. Для скорректированного выражения $(5^{2n+1} + 3^{n+2} \cdot 2^{n-1})$ делимость на 19 доказана.

в)

Требуется доказать, что выражение $(5^{2+n} + 26 \cdot 5^n + 8^{2n+1})$ делится на 59.

Преобразуем выражение, используя свойства степеней:

$5^{n+2} + 26 \cdot 5^n + 8^{2n+1} = 5^2 \cdot 5^n + 26 \cdot 5^n + 8^1 \cdot (8^2)^n$

$= 25 \cdot 5^n + 26 \cdot 5^n + 8 \cdot 64^n$.

Сгруппируем первые два слагаемых:

$(25 + 26) \cdot 5^n + 8 \cdot 64^n = 51 \cdot 5^n + 8 \cdot 64^n$.

Проверим делимость полученного выражения на 59, используя сравнения по модулю 59.

$51 = 59 - 8 \implies 51 \equiv -8 \pmod{59}$.

$64 = 59 + 5 \implies 64 \equiv 5 \pmod{59}$.

Подставим эти сравнения в наше выражение:

$51 \cdot 5^n + 8 \cdot 64^n \equiv (-8) \cdot 5^n + 8 \cdot 5^n \pmod{59}$.

$\equiv (-8 + 8) \cdot 5^n \pmod{59}$.

$\equiv 0 \cdot 5^n \equiv 0 \pmod{59}$.

Таким образом, исходное выражение делится на 59.

Ответ: Делимость доказана.

г)

Требуется доказать, что выражение $(5^{n+3} \cdot 2^n - 125)$ делится на 45 при натуральном $n$.

Преобразуем выражение:

$5^{n+3} \cdot 2^n - 125 = 5^3 \cdot 5^n \cdot 2^n - 125 = 125 \cdot (5 \cdot 2)^n - 125$

$= 125 \cdot 10^n - 125$.

Вынесем общий множитель 125 за скобки:

$125(10^n - 1)$.

Чтобы доказать делимость на 45, нужно доказать делимость на 5 и на 9, так как $45 = 5 \cdot 9$ и числа 5 и 9 являются взаимно простыми.

1. Делимость на 5.

Множитель 125 делится на 5 ($125 = 25 \cdot 5$), следовательно, всё произведение $125(10^n - 1)$ делится на 5.

2. Делимость на 9.

Рассмотрим множитель $(10^n - 1)$. При любом натуральном $n \ge 1$, число $10^n - 1$ представляет собой число, состоящее из $n$ цифр 9 (например, $10^1-1=9$, $10^2-1=99$, $10^3-1=999$ и т.д.). Сумма цифр такого числа равна $9n$, что очевидно делится на 9. По признаку делимости на 9, число $(10^n-1)$ делится на 9.

Поскольку один из множителей в произведении $125(10^n - 1)$ делится на 9, то и всё произведение делится на 9.

Так как выражение делится и на 5, и на 9, оно делится на их произведение $5 \cdot 9 = 45$.

Ответ: Делимость доказана.