Номер 6.27, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

6.27. Докажите методом математической индукции, что у выпуклого $n$-угольника $(n \ge 3)$:

a) сумма внутренних углов равна $180^\circ(n - 2)$;

б) число диагоналей равно $\frac{n(n - 3)}{2}$.

а) сумма внутренних углов равна $180^\circ(n-2)$

Докажем данное утверждение методом математической индукции по числу сторон $n$, где $n \ge 3$.

1. База индукции.

Проверим утверждение для наименьшего возможного значения $n=3$. Для треугольника ($n=3$) сумма внутренних углов, как известно из геометрии, равна $180^\circ$.

Подставим $n=3$ в данную формулу:

$S_3 = 180^\circ(3-2) = 180^\circ \cdot 1 = 180^\circ$.

Формула верна для $n=3$. База индукции доказана.

2. Индукционное предположение.

Предположим, что формула верна для некоторого натурального числа $k \ge 3$. То есть, мы считаем, что сумма внутренних углов любого выпуклого $k$-угольника равна $S_k = 180^\circ(k-2)$.

3. Индукционный шаг.

Докажем, что если утверждение верно для $n=k$, то оно верно и для $n=k+1$. То есть, нам нужно доказать, что сумма углов выпуклого $(k+1)$-угольника равна $S_{k+1} = 180^\circ((k+1)-2) = 180^\circ(k-1)$.

Рассмотрим выпуклый $(k+1)$-угольник с вершинами $A_1, A_2, \dots, A_k, A_{k+1}$. Проведём в нём диагональ, соединяющую вершины $A_1$ и $A_k$. Поскольку многоугольник выпуклый, эта диагональ будет лежать полностью внутри него и разделит его на два многоугольника:

• Выпуклый $k$-угольник с вершинами $A_1, A_2, \dots, A_k$.
• Треугольник $\triangle A_1A_kA_{k+1}$.

Сумма внутренних углов $(k+1)$-угольника будет равна сумме внутренних углов этих двух многоугольников.

Сумма углов треугольника $\triangle A_1A_kA_{k+1}$ равна $180^\circ$.

Сумма углов $k$-угольника $A_1A_2...A_k$, согласно нашему индукционному предположению, равна $S_k = 180^\circ(k-2)$.

Следовательно, общая сумма углов $(k+1)$-угольника равна:

$S_{k+1} = S_k + 180^\circ = 180^\circ(k-2) + 180^\circ = 180^\circ(k-2+1) = 180^\circ(k-1)$.

Мы получили в точности формулу для $n=k+1$. Таким образом, индукционный переход доказан.

По принципу математической индукции, формула верна для любого выпуклого $n$-угольника при $n \ge 3$.

Ответ: Утверждение доказано.

б) число диагоналей равно $\frac{n(n-3)}{2}$

Докажем данное утверждение методом математической индукции по числу сторон $n$, где $n \ge 3$. Обозначим число диагоналей $n$-угольника как $D_n$.

1. База индукции.

Проверим утверждение для $n=3$. У треугольника ($n=3$) нет диагоналей, то есть $D_3=0$.

Подставим $n=3$ в формулу:

$D_3 = \frac{3(3-3)}{2} = \frac{3 \cdot 0}{2} = 0$.

Формула верна для $n=3$. База индукции доказана.

2. Индукционное предположение.

Предположим, что формула верна для некоторого натурального числа $k \ge 3$. То есть, число диагоналей выпуклого $k$-угольника равно $D_k = \frac{k(k-3)}{2}$.

3. Индукционный шаг.

Докажем, что если утверждение верно для $n=k$, то оно верно и для $n=k+1$. Нам нужно доказать, что $D_{k+1} = \frac{(k+1)((k+1)-3)}{2} = \frac{(k+1)(k-2)}{2}$.

Рассмотрим выпуклый $(k+1)$-угольник $A_1A_2...A_kA_{k+1}$.

Его диагонали можно разделить на три группы:

1. Диагонали $k$-угольника $A_1A_2...A_k$. По индукционному предположению, их число равно $D_k = \frac{k(k-3)}{2}$.
2. Диагонали, которые соединяют новую вершину $A_{k+1}$ с остальными вершинами. Из вершины $A_{k+1}$ можно провести диагонали ко всем вершинам, кроме самой себя и двух соседних ($A_1$ и $A_k$). Таким образом, из $A_{k+1}$ можно провести $(k+1) - 3 = k-2$ диагонали.
3. Отрезок $A_1A_k$, который был стороной в $k$-угольнике $A_1A_2...A_k$, в $(k+1)$-угольнике является диагональю, так как вершины $A_1$ и $A_k$ не являются соседними (между ними находится вершина $A_{k+1}$). Это еще одна, ранее не учтенная, диагональ.

Суммируем количество диагоналей:

$D_{k+1} = D_k + (k-2) + 1 = \frac{k(k-3)}{2} + k-1$.

Приведём выражение к общему знаменателю и упростим:

$D_{k+1} = \frac{k(k-3) + 2(k-1)}{2} = \frac{k^2 - 3k + 2k - 2}{2} = \frac{k^2 - k - 2}{2}$.

Разложим числитель на множители. Корнями уравнения $k^2 - k - 2 = 0$ являются $k=2$ и $k=-1$. Поэтому $k^2 - k - 2 = (k-2)(k+1)$.

Следовательно, $D_{k+1} = \frac{(k+1)(k-2)}{2}$.

Это совпадает с формулой для $n=k+1$. Индукционный переход доказан.

По принципу математической индукции, формула верна для любого выпуклого $n$-угольника при $n \ge 3$.

Ответ: Утверждение доказано.