Номер 7.1, страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.1. На рисунке 1 изображён шестиугольник $ABCDEF$, составленный из двух прямоугольников, причём $AB = 10$, $BC = CD = 3$, $DE = 2$.

Рис. 1

Рис. 2

Найдите:

а) периметр шестиугольника $ABCDEF$;

б) площадь шестиугольника $ABCDEF$;

в) площадь прямоугольника $AM_1M_2F$, если $AM_1 = x$, $0 \le x \le 7$;

г) площадь шестиугольника $M_1BCDEM_2$, если $M_1M_2 \parallel AF$ и $AM_1 = x, 7 \le x \le 10$.

а) периметр шестиугольника ABCDEF;

Для нахождения периметра шестиугольника $ABCDEF$ необходимо сложить длины всех его сторон: $P = AB + BC + CD + DE + EF + FA$.Из условия задачи известны длины следующих сторон:$AB = 10$$BC = 3$$CD = 3$$DE = 2$Для нахождения длин сторон $EF$ и $FA$ проанализируем фигуру. Шестиугольник составлен из двух прямоугольников. Мысленно проведем вертикальный отрезок из точки $D$ вниз до пересечения со стороной $AB$ в точке $G$. Получим прямоугольник $GBCD$ (так как $BC \perp AB$ и $CD$ параллельна $AB$, то это квадрат, так как $BC=CD=3$). Тогда $GB = CD = 3$.Длина отрезка $AG = AB - GB = 10 - 3 = 7$.Второй прямоугольник — $AFEG$. Его сторона $EF$ параллельна и равна $AG$. Следовательно, $EF = 7$.Сторона $FA$ равна высоте большого прямоугольника $AFEG$. Эта высота складывается из высоты малого прямоугольника $GBCD$ (равной $BC=3$) и длины отрезка $DE=2$. То есть, $FA = BC + DE = 3 + 2 = 5$.Теперь мы можем вычислить периметр:$P = 10 + 3 + 3 + 2 + 7 + 5 = 30$.
Ответ: $30$.

б) площадь шестиугольника ABCDEF;

Площадь шестиугольника $ABCDEF$ можно найти как сумму площадей двух прямоугольников, из которых он состоит.Первый прямоугольник (нижний правый) имеет стороны $BC=3$ и $CD=3$. Его площадь $S_1 = 3 \times 3 = 9$.Второй прямоугольник (левый большой) имеет стороны $FA=5$ и $EF=7$. Его площадь $S_2 = 5 \times 7 = 35$.Общая площадь шестиугольника равна сумме площадей этих двух прямоугольников:$S = S_1 + S_2 = 9 + 35 = 44$.
Ответ: $44$.

в) площадь прямоугольника AM?M?F, если AM? = x, 0 ? x ? 7;

Прямоугольник $AM_1M_2F$ имеет стороны $AM_1$ и $AF$.Длина стороны $AM_1$ по условию равна $x$.Длина стороны $AF$ была найдена в пункте а) и равна $5$.Точка $M_1$ находится на отрезке $AB$, а точка $M_2$ — на отрезке $FE$. Условие $0 \le x \le 7$ гарантирует, что точка $M_2$ действительно лежит на отрезке $FE$, так как длина $FE$ равна $7$.Площадь прямоугольника $AM_1M_2F$ равна произведению длин его сторон:$S_{AM_1M_2F} = AM_1 \times AF = x \times 5 = 5x$.
Ответ: $5x$.

г) площадь шестиугольника M?BCDEM?, если M?M? || AF и AM? = x, 7 ? x ? 10.

Для решения этой задачи введем систему координат. Пусть точка $A$ находится в начале координат $(0,0)$. Тогда, исходя из длин сторон, координаты вершин будут следующими:$A = (0, 0)$$B = (10, 0)$$C = (10, 3)$$D = (7, 3)$$E = (7, 5)$$F = (0, 5)$Точка $M_1$ лежит на отрезке $AB$, и $AM_1 = x$, следовательно, ее координаты $M_1 = (x, 0)$.Условие $M_1M_2 \parallel AF$ означает, что $M_1M_2$ — вертикальный отрезок. Значит, абсцисса точки $M_2$ также равна $x$. Точка $M_2$ является вершиной шестиугольника $M_1BCDEM_2$ и должна лежать на верхней границе исходной фигуры $ABCDEF$. Для диапазона $7 \le x \le 10$ вертикальная линия с абсциссой $x$ пересекает верхнюю границу на отрезке $DC$, который лежит на прямой $y=3$. Таким образом, координаты точки $M_2$ равны $(x, 3)$.Теперь у нас есть координаты всех вершин шестиугольника $M_1BCDEM_2$:$M_1 = (x, 0)$$B = (10, 0)$$C = (10, 3)$$D = (7, 3)$$E = (7, 5)$$M_2 = (x, 3)$Для вычисления площади этого многоугольника воспользуемся формулой площади Гаусса (формулой шнурков):$S = \frac{1}{2} |(x_1y_2 + x_2y_3 + \dots + x_ny_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + \dots + y_nx_1)|$Подставляем координаты вершин в порядке обхода $M_1 \to B \to C \to D \to E \to M_2 \to M_1$:$S = \frac{1}{2} |(x \cdot 0 + 10 \cdot 3 + 10 \cdot 3 + 7 \cdot 5 + 7 \cdot 3 + x \cdot 0) - (0 \cdot 10 + 0 \cdot 10 + 3 \cdot 7 + 3 \cdot 7 + 5 \cdot x + 3 \cdot x)|$$S = \frac{1}{2} |(0 + 30 + 30 + 35 + 21 + 0) - (0 + 0 + 21 + 21 + 5x + 3x)|$$S = \frac{1}{2} |116 - (42 + 8x)|$$S = \frac{1}{2} |116 - 42 - 8x|$$S = \frac{1}{2} |74 - 8x| = |37 - 4x|$Поскольку площадь не может быть отрицательной, мы используем модуль.Проверим на концах интервала:При $x=7$: $S = |37 - 4 \cdot 7| = |37 - 28| = 9$. Это площадь квадрата со стороной 3, что верно.При $x=10$: $S = |37 - 4 \cdot 10| = |37 - 40| = |-3| = 3$. Это площадь треугольника $CDE$, что также верно.
Ответ: $|37 - 4x|$.