Страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

7.1. На рисунке 1 изображён шестиугольник $ABCDEF$, составленный из двух прямоугольников, причём $AB = 10$, $BC = CD = 3$, $DE = 2$.

Рис. 1

Рис. 2

Найдите:

а) периметр шестиугольника $ABCDEF$;

б) площадь шестиугольника $ABCDEF$;

в) площадь прямоугольника $AM_1M_2F$, если $AM_1 = x$, $0 \le x \le 7$;

г) площадь шестиугольника $M_1BCDEM_2$, если $M_1M_2 \parallel AF$ и $AM_1 = x, 7 \le x \le 10$.

а) периметр шестиугольника ABCDEF;

Для нахождения периметра шестиугольника $ABCDEF$ необходимо сложить длины всех его сторон: $P = AB + BC + CD + DE + EF + FA$.Из условия задачи известны длины следующих сторон:$AB = 10$$BC = 3$$CD = 3$$DE = 2$Для нахождения длин сторон $EF$ и $FA$ проанализируем фигуру. Шестиугольник составлен из двух прямоугольников. Мысленно проведем вертикальный отрезок из точки $D$ вниз до пересечения со стороной $AB$ в точке $G$. Получим прямоугольник $GBCD$ (так как $BC \perp AB$ и $CD$ параллельна $AB$, то это квадрат, так как $BC=CD=3$). Тогда $GB = CD = 3$.Длина отрезка $AG = AB - GB = 10 - 3 = 7$.Второй прямоугольник — $AFEG$. Его сторона $EF$ параллельна и равна $AG$. Следовательно, $EF = 7$.Сторона $FA$ равна высоте большого прямоугольника $AFEG$. Эта высота складывается из высоты малого прямоугольника $GBCD$ (равной $BC=3$) и длины отрезка $DE=2$. То есть, $FA = BC + DE = 3 + 2 = 5$.Теперь мы можем вычислить периметр:$P = 10 + 3 + 3 + 2 + 7 + 5 = 30$.
Ответ: $30$.

б) площадь шестиугольника ABCDEF;

Площадь шестиугольника $ABCDEF$ можно найти как сумму площадей двух прямоугольников, из которых он состоит.Первый прямоугольник (нижний правый) имеет стороны $BC=3$ и $CD=3$. Его площадь $S_1 = 3 \times 3 = 9$.Второй прямоугольник (левый большой) имеет стороны $FA=5$ и $EF=7$. Его площадь $S_2 = 5 \times 7 = 35$.Общая площадь шестиугольника равна сумме площадей этих двух прямоугольников:$S = S_1 + S_2 = 9 + 35 = 44$.
Ответ: $44$.

в) площадь прямоугольника AM?M?F, если AM? = x, 0 ? x ? 7;

Прямоугольник $AM_1M_2F$ имеет стороны $AM_1$ и $AF$.Длина стороны $AM_1$ по условию равна $x$.Длина стороны $AF$ была найдена в пункте а) и равна $5$.Точка $M_1$ находится на отрезке $AB$, а точка $M_2$ — на отрезке $FE$. Условие $0 \le x \le 7$ гарантирует, что точка $M_2$ действительно лежит на отрезке $FE$, так как длина $FE$ равна $7$.Площадь прямоугольника $AM_1M_2F$ равна произведению длин его сторон:$S_{AM_1M_2F} = AM_1 \times AF = x \times 5 = 5x$.
Ответ: $5x$.

г) площадь шестиугольника M?BCDEM?, если M?M? || AF и AM? = x, 7 ? x ? 10.

Для решения этой задачи введем систему координат. Пусть точка $A$ находится в начале координат $(0,0)$. Тогда, исходя из длин сторон, координаты вершин будут следующими:$A = (0, 0)$$B = (10, 0)$$C = (10, 3)$$D = (7, 3)$$E = (7, 5)$$F = (0, 5)$Точка $M_1$ лежит на отрезке $AB$, и $AM_1 = x$, следовательно, ее координаты $M_1 = (x, 0)$.Условие $M_1M_2 \parallel AF$ означает, что $M_1M_2$ — вертикальный отрезок. Значит, абсцисса точки $M_2$ также равна $x$. Точка $M_2$ является вершиной шестиугольника $M_1BCDEM_2$ и должна лежать на верхней границе исходной фигуры $ABCDEF$. Для диапазона $7 \le x \le 10$ вертикальная линия с абсциссой $x$ пересекает верхнюю границу на отрезке $DC$, который лежит на прямой $y=3$. Таким образом, координаты точки $M_2$ равны $(x, 3)$.Теперь у нас есть координаты всех вершин шестиугольника $M_1BCDEM_2$:$M_1 = (x, 0)$$B = (10, 0)$$C = (10, 3)$$D = (7, 3)$$E = (7, 5)$$M_2 = (x, 3)$Для вычисления площади этого многоугольника воспользуемся формулой площади Гаусса (формулой шнурков):$S = \frac{1}{2} |(x_1y_2 + x_2y_3 + \dots + x_ny_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + \dots + y_nx_1)|$Подставляем координаты вершин в порядке обхода $M_1 \to B \to C \to D \to E \to M_2 \to M_1$:$S = \frac{1}{2} |(x \cdot 0 + 10 \cdot 3 + 10 \cdot 3 + 7 \cdot 5 + 7 \cdot 3 + x \cdot 0) - (0 \cdot 10 + 0 \cdot 10 + 3 \cdot 7 + 3 \cdot 7 + 5 \cdot x + 3 \cdot x)|$$S = \frac{1}{2} |(0 + 30 + 30 + 35 + 21 + 0) - (0 + 0 + 21 + 21 + 5x + 3x)|$$S = \frac{1}{2} |116 - (42 + 8x)|$$S = \frac{1}{2} |116 - 42 - 8x|$$S = \frac{1}{2} |74 - 8x| = |37 - 4x|$Поскольку площадь не может быть отрицательной, мы используем модуль.Проверим на концах интервала:При $x=7$: $S = |37 - 4 \cdot 7| = |37 - 28| = 9$. Это площадь квадрата со стороной 3, что верно.При $x=10$: $S = |37 - 4 \cdot 10| = |37 - 40| = |-3| = 3$. Это площадь треугольника $CDE$, что также верно.
Ответ: $|37 - 4x|$.

7.2. Используя условие задания 7.1, выразите площадь $S(x)$ части многоугольника ABCDEF, расположенной справа от прямой $M_1M_2$, как функцию от длины отрезка $AM_1 = x$.

Для решения задачи необходимо использовать условия из задания 7.1, которые в вопросе не приведены. Будем исходить из наиболее распространенного варианта для задач такого типа.

Предполагаемые условия из задачи 7.1:

Многоугольник $ABCDEF$ представляет собой L-образную фигуру, образованную из квадрата со стороной 2, из которого вырезан квадрат со стороной 1. Введем систему координат с началом в точке $A$. Вершины многоугольника имеют следующие координаты: $A(0,0)$, $B(2,0)$, $C(2,1)$, $D(1,1)$, $E(1,2)$, $F(0,2)$.

Точка $M_1$ лежит на стороне $AB$, и длина отрезка $AM_1 = x$. Таким образом, $0 \le x \le 2$, а координаты точки $M_1(x,0)$.

Прямая $M_1M_2$ делит периметр многоугольника пополам. Точка $M_2$ также лежит на границе многоугольника.

Сначала найдем периметр многоугольника $ABCDEF$:

$P = AB + BC + CD + DE + EF + FA$

$AB = \sqrt{(2-0)^2 + (0-0)^2} = 2$

$BC = \sqrt{(2-2)^2 + (1-0)^2} = 1$

$CD = \sqrt{(1-2)^2 + (1-1)^2} = 1$

$DE = \sqrt{(1-1)^2 + (2-1)^2} = 1$

$EF = \sqrt{(0-1)^2 + (2-2)^2} = 1$

$FA = \sqrt{(0-0)^2 + (0-2)^2} = 2$

Периметр $P = 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 = 8$.

Прямая $M_1M_2$ делит периметр пополам, значит, длина границы многоугольника между точками $M_1$ и $M_2$ равна $P/2 = 4$. Будем отсчитывать расстояние от точки $A$ по периметру в направлении $A \to B \to C \to D \to E \to F \to A$.

Расстояние от $A$ до $M_1$ равно $x$. Расстояние от $A$ до $M_2$ равно $x+4$.

Рассмотрим положение точки $M_2$ в зависимости от значения $x$. Вычислим расстояния от точки $A$ до вершин:

• $A$: 0
• $B$: 2
• $C$: $2+1 = 3$
• $D$: $3+1 = 4$
• $E$: $4+1 = 5$
• $F$: $5+1 = 6$
• $A$: $6+2 = 8$

Решение задачи зависит от того, на каком отрезке находится точка $M_2$. Разделим решение на два случая.

Случай 1: $0 \le x \le 1$

При $0 \le x \le 1$ расстояние от $A$ до $M_2$ по периметру составляет от $0+4=4$ до $1+4=5$. Это означает, что точка $M_2$ находится на отрезке $DE$.

Расстояние от точки $D$ до точки $M_2$ по периметру равно $(x+4) - 4 = x$. Так как $D=(1,1)$, $E=(1,2)$, а отрезок $DE$ вертикален и имеет длину 1, то координаты точки $M_2$ будут $(1, 1+x)$.

Итак, $M_1(x,0)$ и $M_2(1, 1+x)$.

Площадь $S(x)$, расположенная справа от прямой $M_1M_2$, — это площадь многоугольника $M_1BCDM_2$. Его вершины в порядке обхода: $M_1(x,0)$, $B(2,0)$, $C(2,1)$, $D(1,1)$, $M_2(1, 1+x)$.

Для вычисления площади воспользуемся формулой площади Гаусса (формулой шнурков):

$S = \frac{1}{2} |(x_1y_2 + x_2y_3 + \dots + x_ny_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + \dots + y_nx_1)|$

$S(x) = \frac{1}{2} |(x \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot (1+x) + 1 \cdot 0) - (0 \cdot 2 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + (1+x) \cdot x)|$

$S(x) = \frac{1}{2} |(0 + 2 + 2 + 1+x + 0) - (0 + 0 + 1 + 1 + x + x^2)|$

$S(x) = \frac{1}{2} |(5+x) - (2+x+x^2)|$

$S(x) = \frac{1}{2} |3 - x^2|$

Поскольку $0 \le x \le 1$, выражение $3 - x^2$ положительно, поэтому модуль можно убрать.

$S(x) = \frac{3 - x^2}{2} = 1.5 - 0.5x^2$

Проверим при $x=1$: $M_1(1,0)$, $M_2(1,2)$. Прямая $M_1M_2$ — это $x=1$. Площадь справа — это площадь прямоугольника со сторонами 1 и 1 (вершины $(1,0), (2,0), (2,1), (1,1)$), то есть $S(1)=1$. По формуле: $S(1) = 1.5 - 0.5(1)^2 = 1$. Результаты совпадают.

Случай 2: $1 < x \le 2$

При $1 < x \le 2$ расстояние от $A$ до $M_2$ по периметру составляет от $1+4=5$ до $2+4=6$. Это означает, что точка $M_2$ находится на отрезке $EF$.

Расстояние от точки $E$ до точки $M_2$ по периметру равно $(x+4) - 5 = x-1$. Так как $E=(1,2)$, $F=(0,2)$, а отрезок $EF$ горизонтален и имеет длину 1, то координаты точки $M_2$ будут $(1 - (x-1), 2) = (2-x, 2)$.

Итак, $M_1(x,0)$ и $M_2(2-x, 2)$.

Площадь $S(x)$, расположенная справа от прямой $M_1M_2$, — это площадь многоугольника $M_1BCDEM_2$. Его вершины в порядке обхода: $M_1(x,0)$, $B(2,0)$, $C(2,1)$, $D(1,1)$, $E(1,2)$, $M_2(2-x, 2)$.

Снова воспользуемся формулой Гаусса:

$S(x) = \frac{1}{2} |(x \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + (2-x) \cdot 0) - (0 \cdot 2 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot (2-x) + 2 \cdot x)|$

$S(x) = \frac{1}{2} |(0 + 2 + 2 + 2 + 2 + 0) - (0 + 0 + 1 + 1 + 4 - 2x + 2x)|$

$S(x) = \frac{1}{2} |8 - (6)|$

$S(x) = \frac{1}{2} |2| = 1$

Таким образом, при $1 < x \le 2$ площадь $S(x)$ является постоянной и равной 1.

Объединяя оба случая, мы получаем кусочно-заданную функцию для площади $S(x)$:

$S(x) = \begin{cases} 1.5 - 0.5x^2, & \text{если } 0 \le x \le 1 \\1, & \text{если } 1 < x \le 2 \end{cases}$

Ответ: $S(x) = \begin{cases} 1.5 - 0.5x^2, & \text{при } 0 \le x \le 1 \\ 1, & \text{при } 1 < x \le 2 \end{cases}$

7.3. Выполните рисунок 1 в тетради и совместите ось $Ox$ с прямой $AB$, а ось $Oy$ — с прямой $AF$. Определите координаты точек $A, M_1, B, C, D, E, M_2, F$ в полученной прямоугольной системе координат. Задайте функцию, графиком которой является:

а) прямая $DC$;

б) прямая $FE$;

в) отрезок $DC$;

г) отрезок $FE$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат, как указано в условии. Совместим начало координат с точкой $A$, ось $Ox$ — с прямой $AB$, а ось $Oy$ — с прямой $AF$. Предположим, что "Рисунок 1" представляет собой стандартное для учебных задач изображение дома на сетке, где каждая клетка — это единичный квадрат.

В этой системе координат определим координаты заданных точек:

• Точка $A$ — начало координат, следовательно, ее координаты $A(0; 0)$.
• Точка $B$ лежит на оси $Ox$. Судя по стандартному рисунку, ее координата $x=10$. Таким образом, $B(10; 0)$.
• Точка $F$ лежит на оси $Oy$. Судя по рисунку, ее координата $y=6$. Таким образом, $F(0; 6)$.
• Точка $C$ имеет ту же абсциссу, что и $B$, и ту же ординату, что и $F$. Таким образом, $C(10; 6)$.
• Точка $D$ — это вершина крыши. Она находится посередине между $F$ и $C$ по оси $x$ и на определенной высоте. Абсцисса точки $D$ равна $x = \frac{0+10}{2} = 5$. Высота по рисунку равна 9. Таким образом, $D(5; 9)$.
• Точка $M_1$ находится на отрезке $AB$. Обычно в таких задачах это середина отрезка. Координаты середины $AB$: $M_1(\frac{0+10}{2}; \frac{0+0}{2})$, то есть $M_1(5; 0)$.

В условии также упомянуты точки $E$ и $M_2$ и требуется задать функцию для прямой и отрезка $FE$. Однако на классическом "Рисунке 1" (дом) точка $E$ отсутствует. Вероятно, в условии допущена опечатка, и имелась в виду прямая и отрезок $FD$, являющиеся стороной крыши. В рамках этого предположения мы не можем определить координаты точек $E$ и $M_2$.

Итоговые координаты точек, которые можно определить по рисунку: $A(0; 0), M_1(5; 0), B(10; 0), C(10; 6), D(5; 9), F(0; 6)$.

Теперь зададим функции для указанных прямых и отрезков.

а) прямая DC

Найдем уравнение прямой, проходящей через точки $D(5; 9)$ и $C(10; 6)$. Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$.

1. Найдем угловой коэффициент $k$:
$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{6 - 9}{10 - 5} = \frac{-3}{5} = -0.6$

2. Подставим координаты одной из точек (например, $D$) в уравнение $y = -0.6x + b$, чтобы найти $b$:
$9 = -0.6 \cdot 5 + b$
$9 = -3 + b$
$b = 12$

Таким образом, уравнение прямой $DC$: $y = -0.6x + 12$.

Ответ: $y = -0.6x + 12$.

б) прямая FE

Исходя из нашего предположения, что это опечатка, найдем уравнение прямой $FD$, проходящей через точки $F(0; 6)$ и $D(5; 9)$.

1. Найдем угловой коэффициент $k$:
$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{9 - 6}{5 - 0} = \frac{3}{5} = 0.6$

2. Точка $F(0; 6)$ лежит на оси $Oy$, поэтому ее ордината является коэффициентом $b$. Таким образом, $b = 6$.

Уравнение прямой $FD$: $y = 0.6x + 6$.

Ответ: $y = 0.6x + 6$.

в) отрезок DC

Отрезок $DC$ является частью прямой $y = -0.6x + 12$. Концами отрезка служат точки $D(5; 9)$ и $C(10; 6)$. Это означает, что абсцисса $x$ может принимать значения только в пределах от 5 до 10 включительно.

Функция, графиком которой является отрезок $DC$, задается системой:
$y = -0.6x + 12$, при $5 \le x \le 10$.

Ответ: Функция $y = -0.6x + 12$, где $x \in [5; 10]$.

г) отрезок FE

Аналогично, найдем функцию для отрезка $FD$. Он является частью прямой $y = 0.6x + 6$. Концами отрезка служат точки $F(0; 6)$ и $D(5; 9)$. Абсцисса $x$ изменяется от 0 до 5 включительно.

Функция, графиком которой является отрезок $FD$, задается системой:
$y = 0.6x + 6$, при $0 \le x \le 5$.

Ответ: Функция $y = 0.6x + 6$, где $x \in [0; 5]$.