Страница 48, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

7.30. a) Пусть $f(x) = x^2 + 2$. Докажите, что $f(x) = f(-x)$.

б) Пусть $f(x) = -x^3 + 2x$. Докажите, что $f(x) = -f(-x)$.

в) Пусть $f(x) = \frac{1}{x}$. Докажите, что $(f(x))^{-1} = f\left(\frac{1}{x}\right)$.

г) Пусть $f(x) = x^2 + 2$. Докажите, что $f(|x|) = f(x)$ и $|f(x)| = f(x)$.

а)

Дана функция $f(x) = x^2 + 2$. Необходимо доказать, что $f(x) = f(-x)$.

Чтобы доказать это тождество, найдем значение функции в точке $-x$. Для этого подставим $-x$ вместо $x$ в исходное уравнение функции:
$f(-x) = (-x)^2 + 2$.

При возведении отрицательного числа в квадрат, знак минус исчезает, так как $(-x) \cdot (-x) = x^2$. Поэтому выражение упрощается:
$f(-x) = x^2 + 2$.

Теперь сравним полученное выражение для $f(-x)$ с исходным выражением для $f(x)$:
$f(x) = x^2 + 2$
$f(-x) = x^2 + 2$
Поскольку правые части выражений совпадают, мы можем заключить, что $f(x) = f(-x)$, что и требовалось доказать. (Такие функции называются четными).

Ответ: Равенство $f(x) = f(-x)$ доказано.

б)

Дана функция $f(x) = -x^3 + 2x$. Необходимо доказать, что $f(x) = -f(-x)$.

Сначала найдем выражение для $f(-x)$, подставив $-x$ вместо $x$:
$f(-x) = -(-x)^3 + 2(-x)$.

Упростим это выражение. Мы знаем, что $(-x)^3 = -x^3$.
$f(-x) = -(-x^3) - 2x = x^3 - 2x$.

Теперь найдем выражение для $-f(-x)$, умножив полученное $f(-x)$ на $-1$:
$-f(-x) = -(x^3 - 2x) = -x^3 + 2x$.

Сравним результат с исходной функцией $f(x)$:
$f(x) = -x^3 + 2x$
$-f(-x) = -x^3 + 2x$
Выражения полностью совпадают, следовательно, $f(x) = -f(-x)$, что и требовалось доказать. (Такие функции называются нечетными).

Ответ: Равенство $f(x) = -f(-x)$ доказано.

в)

Дана функция $f(x) = \frac{1}{x}$. Необходимо доказать, что $(f(x))^{-1} = f\left(\frac{1}{x}\right)$.

Докажем это, преобразовав левую и правую части равенства по отдельности.
Левая часть: $(f(x))^{-1}$.
Подставим определение функции $f(x)$:
$(f(x))^{-1} = \left(\frac{1}{x}\right)^{-1}$.
Возведение дроби в степень $-1$ означает взятие обратной дроби:
$\left(\frac{1}{x}\right)^{-1} = \frac{x}{1} = x$.

Правая часть: $f\left(\frac{1}{x}\right)$.
Найдем значение функции, подставив в нее $\frac{1}{x}$ в качестве аргумента:
$f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{\left(\frac{1}{x}\right)}$.
Разделить единицу на дробь - это то же самое, что умножить единицу на перевернутую дробь:
$\frac{1}{\frac{1}{x}} = 1 \cdot \frac{x}{1} = x$.

Мы получили, что и левая, и правая части равенства равны $x$. Следовательно, исходное равенство верно.

Ответ: Равенство $(f(x))^{-1} = f\left(\frac{1}{x}\right)$ доказано.

г)

Дана функция $f(x) = x^2 + 2$. Необходимо доказать два равенства: $f(|x|) = f(x)$ и $|f(x)| = f(x)$.

Доказательство первого равенства: $f(|x|) = f(x)$.
Найдем $f(|x|)$, подставив $|x|$ в качестве аргумента в функцию:
$f(|x|) = (|x|)^2 + 2$.
Квадрат модуля числа равен квадрату самого числа, то есть $(|x|)^2 = x^2$ для любого действительного $x$.
Значит, $f(|x|) = x^2 + 2$.
Это выражение совпадает с исходной функцией $f(x)$, поэтому $f(|x|) = f(x)$.

Доказательство второго равенства: $|f(x)| = f(x)$.
Равенство $|A| = A$ верно только в том случае, если $A$ является неотрицательным числом, то есть $A \ge 0$. В нашем случае $A = f(x) = x^2 + 2$.
Проверим знак функции $f(x)$.
Выражение $x^2$ всегда неотрицательно для любого действительного $x$: $x^2 \ge 0$.
Если к неотрицательному числу прибавить 2, результат всегда будет положительным:
$x^2 + 2 \ge 0 + 2 \implies f(x) \ge 2$.
Так как $f(x)$ всегда принимает положительные значения, ее модуль равен самому значению функции. Таким образом, $|f(x)| = f(x)$.

Ответ: Оба равенства, $f(|x|) = f(x)$ и $|f(x)| = f(x)$, доказаны.

7.31. Найдите область определения функции, учитывая все возможные значения параметра a:

а) $y = \frac{\sqrt{x - a}}{x^2 - 1}$;

б) $y = \sqrt{1 - a \cdot |x|}$;

в) $y = \frac{\sqrt{x^2 - 7x + 12}}{x - a}$;

г) $y = \frac{a \cdot x^3 - \sqrt{-x^2 - 7x + 8}}{1 + \sqrt{x - a}}$.

а) $y = \frac{\sqrt{x - a}}{x^2 - 1}$

Область определения функции задается системой неравенств:

$ \begin{cases} x - a \ge 0 \\ x^2 - 1 \ne 0 \end{cases} $ , что равносильно системе $ \begin{cases} x \ge a \\ x \ne 1 \\ x \ne -1 \end{cases} $ .

Рассмотрим различные случаи в зависимости от значения параметра $a$ относительно точек $x=1$ и $x=-1$.

• Если $a > 1$, то условие $x \ge a$ уже исключает точки $1$ и $-1$. Область определения: $x \ge a$.
• Если $a = 1$, то условие $x \ge 1$ и $x \ne 1$ дает $x > 1$.
• Если $-1 < a < 1$, то из промежутка $x \ge a$ нужно исключить точку $x = 1$. Точка $x = -1$ не входит в этот промежуток.
• Если $a = -1$, то из промежутка $x \ge -1$ нужно исключить точки $x = -1$ и $x = 1$.
• Если $a < -1$, то из промежутка $x \ge a$ нужно исключить точки $x = -1$ и $x = 1$.

Ответ:

При $a > 1$: $D(y) = [a, +\infty)$;

При $a = 1$: $D(y) = (1, +\infty)$;

При $-1 < a < 1$: $D(y) = [a, 1) \cup (1, +\infty)$;

При $a = -1$: $D(y) = (-1, 1) \cup (1, +\infty)$;

При $a < -1$: $D(y) = [a, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty)$.

б) $y = \sqrt{1 - a \cdot |x|}$

Область определения функции задается неравенством: $1 - a \cdot |x| \ge 0$, или $a \cdot |x| \le 1$.

Рассмотрим различные случаи для параметра $a$.

• Если $a > 0$, то, разделив на $a$, получаем $|x| \le \frac{1}{a}$, что равносильно $-\frac{1}{a} \le x \le \frac{1}{a}$.
• Если $a = 0$, неравенство принимает вид $1 \ge 0$, что верно для любого действительного $x$.
• Если $a < 0$, то произведение $a \cdot |x|$ является неположительным числом ($a<0$, $|x|\ge0$). Тогда $1 - a \cdot |x|$ всегда будет не меньше 1, и неравенство $1 - a \cdot |x| \ge 0$ выполняется для любого действительного $x$.

Объединяя случаи $a=0$ и $a<0$, получаем ответ.

Ответ:

При $a > 0$: $D(y) = [-\frac{1}{a}, \frac{1}{a}]$;

При $a \le 0$: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

в) $y = \frac{\sqrt{x^2 - 7x + 12}}{x - a}$

Область определения функции задается системой:

$ \begin{cases} x^2 - 7x + 12 \ge 0 \\ x - a \ne 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство. Корнями уравнения $x^2 - 7x + 12 = 0$ являются $x_1=3$ и $x_2=4$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 3] \cup [4, +\infty)$.

Теперь нужно из этого множества исключить точку $x=a$.

• Если $a$ не принадлежит множеству $(-\infty, 3] \cup [4, +\infty)$, то есть $3 < a < 4$, то точка $x=a$ уже исключена, и условие $x \ne a$ выполняется автоматически.
• Если $a$ принадлежит множеству $(-\infty, 3] \cup [4, +\infty)$, то есть $a \le 3$ или $a \ge 4$, то точку $x=a$ необходимо исключить.

Ответ:

При $3 < a < 4$: $D(y) = (-\infty, 3] \cup [4, +\infty)$;

При $a \le 3$: $D(y) = (-\infty, a) \cup (a, 3] \cup [4, +\infty)$;

При $a \ge 4$: $D(y) = (-\infty, 3] \cup [4, a) \cup (a, +\infty)$.

г) $y = \frac{a \cdot x^3 - \sqrt{-x^2 - 7x + 8}}{1 + \sqrt{x - a}}$

Область определения функции задается системой неравенств:

$ \begin{cases} -x^2 - 7x + 8 \ge 0 \\ x - a \ge 0 \\ 1 + \sqrt{x-a} \ne 0 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $-x^2 - 7x + 8 \ge 0 \Leftrightarrow x^2 + 7x - 8 \le 0$. Корнями уравнения $x^2 + 7x - 8 = 0$ являются $x_1 = -8$ и $x_2 = 1$. Неравенство выполняется между корнями: $x \in [-8, 1]$.

2. Второе неравенство: $x - a \ge 0 \Leftrightarrow x \ge a$.

3. Третье условие: $1 + \sqrt{x-a} \ne 0$. Так как $\sqrt{x-a} \ge 0$, то $1 + \sqrt{x-a} \ge 1$. Это условие всегда выполняется, когда определен корень.

Следовательно, область определения — это пересечение множеств $x \in [-8, 1]$ и $x \ge a$. Результат зависит от значения параметра $a$.

• Если $a > 1$, то интервал $[a, +\infty)$ не имеет общих точек с отрезком $[-8, 1]$. Пересечение пусто.
• Если $a \le 1$, то пересечение непустое. Рассмотрим подробнее:
  • Если $-8 \le a \le 1$, пересечением является отрезок $[a, 1]$.
  • Если $a < -8$, то отрезок $[-8, 1]$ полностью содержится в интервале $[a, +\infty)$. Пересечением будет отрезок $[-8, 1]$.

Ответ:

При $a > 1$: $D(y) = \emptyset$;

При $-8 \le a \le 1$: $D(y) = [a, 1]$;

При $a < -8$: $D(y) = [-8, 1]$.

7.32. Пусть $f(x) = 2 - \sqrt{1 - x}$; $g(x) = \frac{1 + 2x}{3 + x}$. Найдите область определения функции:

a) $y = f(x) + g(x)$;

б) $y = f(x) - g(x)$;

В) $y = \frac{f(x)}{g(x)}$;

Г) $y = \frac{g(x)}{f(x)}$.

Для решения задачи сначала найдем области определения для каждой из исходных функций $f(x)$ и $g(x)$.

1. Функция $f(x) = 2 - \sqrt{1 - x}$.

Область определения этой функции ограничена условием, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$1 - x \ge 0$

Решая неравенство, получаем:

$x \le 1$

Таким образом, область определения функции $f(x)$, обозначаемая как $D(f)$, есть промежуток $D(f) = (-\infty, 1]$.

2. Функция $g(x) = \frac{1 + 2x}{3 + x}$.

Это дробно-рациональная функция, ее область определения ограничена условием, что знаменатель не должен быть равен нулю:

$3 + x \ne 0$

Отсюда:

$x \ne -3$

Следовательно, область определения функции $g(x)$, обозначаемая как $D(g)$, есть объединение промежутков $D(g) = (-\infty, -3) \cup (-3, +\infty)$.

Теперь найдем области определения для каждой из сложных функций.

а) $y = f(x) + g(x)$

Область определения суммы двух функций является пересечением их областей определения: $D(y) = D(f) \cap D(g)$.

Нам нужно найти пересечение множеств $(-\infty, 1]$ и $(-\infty, -3) \cup (-3, +\infty)$.

Это множество всех действительных чисел, которые не превосходят 1, за исключением числа -3.

Таким образом, область определения $D(y) = (-\infty, -3) \cup (-3, 1]$.

Ответ: $D(y) = (-\infty, -3) \cup (-3, 1]$.

б) $y = f(x) - g(x)$

Область определения разности двух функций также является пересечением их областей определения: $D(y) = D(f) \cap D(g)$.

Решение и результат полностью совпадают с пунктом а).

Область определения $D(y) = (-\infty, -3) \cup (-3, 1]$.

Ответ: $D(y) = (-\infty, -3) \cup (-3, 1]$.

в) $y = \frac{f(x)}{g(x)}$

Область определения частного двух функций является пересечением их областей определения, из которого исключены точки, где знаменатель $g(x)$ равен нулю.

То есть, $D(y) = \{x \mid x \in D(f) \cap D(g) \text{ и } g(x) \ne 0\}$.

Пересечение $D(f) \cap D(g)$ мы уже нашли: $(-\infty, -3) \cup (-3, 1]$.

Теперь найдем значения $x$, при которых $g(x) = 0$:

$g(x) = 0 \implies \frac{1 + 2x}{3 + x} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$1 + 2x = 0 \implies 2x = -1 \implies x = -0.5$

Точка $x = -0.5$ принадлежит множеству $(-\infty, -3) \cup (-3, 1]$, поэтому ее необходимо исключить.

В результате получаем область определения $D(y) = (-\infty, -3) \cup (-3, -0.5) \cup (-0.5, 1]$.

Ответ: $D(y) = (-\infty, -3) \cup (-3, -0.5) \cup (-0.5, 1]$.

г) $y = \frac{g(x)}{f(x)}$

Область определения этого частного также является пересечением областей определения $f(x)$ и $g(x)$, из которого исключены точки, где знаменатель $f(x)$ равен нулю.

То есть, $D(y) = \{x \mid x \in D(f) \cap D(g) \text{ и } f(x) \ne 0\}$.

Пересечение $D(f) \cap D(g)$ есть $(-\infty, -3) \cup (-3, 1]$.

Теперь найдем значения $x$, при которых $f(x) = 0$:

$f(x) = 0 \implies 2 - \sqrt{1 - x} = 0$

$\sqrt{1 - x} = 2$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$1 - x = 4$

$x = 1 - 4 \implies x = -3$

Значение $x = -3$ должно быть исключено из области определения. Однако это значение уже исключено из пересечения $D(f) \cap D(g)$. Таким образом, никаких новых ограничений не добавляется.

Область определения $D(y) = (-\infty, -3) \cup (-3, 1]$.

Ответ: $D(y) = (-\infty, -3) \cup (-3, 1]$.

7.33. Пусть $f(x) = x^2 - 3x - 4$; $g(x) = 5x - x^2$. Найдите область определения функции:

a) $y = \sqrt{f(x)} \cdot \sqrt{g(x)};$

б) $y = \sqrt{f(x) \cdot g(x)};$

в) $y = \frac{\sqrt{f(x)}}{\sqrt{g(x)}};$

г) $y = \sqrt{\frac{g(x)}{f(x)}}.$

Для решения задачи сначала проанализируем функции $f(x) = x^2 - 3x - 4$ и $g(x) = 5x - x^2$. Область определения функций, содержащих квадратные корни, зависит от знака подкоренных выражений.

1. Анализ функции $f(x) = x^2 - 3x - 4$

Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями вверх. Найдем ее корни, решив уравнение $x^2 - 3x - 4 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 4$.

Отсюда следует:

• $f(x) \ge 0$ при $x \in (-\infty, -1] \cup [4, \infty)$
• $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (4, \infty)$
• $f(x) \le 0$ при $x \in [-1, 4]$

2. Анализ функции $g(x) = 5x - x^2$

Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями вниз. Найдем ее корни, решив уравнение $5x - x^2 = 0$, или $x(5 - x) = 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$.

Отсюда следует:

• $g(x) \ge 0$ при $x \in [0, 5]$
• $g(x) > 0$ при $x \in (0, 5)$
• $g(x) \le 0$ при $x \in (-\infty, 0] \cup [5, \infty)$

Теперь найдем области определения для каждой из заданных функций.

а) $y = \sqrt{f(x)} \cdot \sqrt{g(x)}$

Область определения этой функции задается системой неравенств, так как подкоренное выражение каждого из корней должно быть неотрицательным:

$\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$

Подставляем условия, найденные ранее:

$\begin{cases} x \in (-\infty, -1] \cup [4, \infty) \\ x \in [0, 5] \end{cases}$

Для нахождения решения системы нужно найти пересечение этих множеств. Рассматривая числовую прямую, видим, что пересечением является отрезок $[4, 5]$.

Ответ: $x \in [4, 5]$.

б) $y = \sqrt{f(x) \cdot g(x)}$

Область определения этой функции задается одним неравенством, так как все произведение находится под одним корнем:

$f(x) \cdot g(x) \ge 0$

Это неравенство эквивалентно совокупности двух систем:

1) $\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$ или 2) $\begin{cases} f(x) \le 0 \\ g(x) \le 0 \end{cases}$

Решение первой системы мы уже нашли в пункте а): $x \in [4, 5]$.

Решим вторую систему:

$\begin{cases} x \in [-1, 4] \\ x \in (-\infty, 0] \cup [5, \infty) \end{cases}$

Пересечением этих множеств является отрезок $[-1, 0]$.

Общая область определения является объединением решений обеих систем: $[-1, 0] \cup [4, 5]$.

Ответ: $x \in [-1, 0] \cup [4, 5]$.

в) $y = \frac{\sqrt{f(x)}}{\sqrt{g(x)}}$

Область определения этой функции задается системой неравенств. Выражение под корнем в числителе должно быть неотрицательным, а выражение под корнем в знаменателе — строго положительным (поскольку деление на ноль невозможно).

$\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) > 0 \end{cases}$

Подставляем условия:

$\begin{cases} x \in (-\infty, -1] \cup [4, \infty) \\ x \in (0, 5) \end{cases}$

Пересечением этих множеств является полуинтервал $[4, 5)$.

Ответ: $x \in [4, 5)$.

г) $y = \frac{g(x)}{\sqrt{f(x)}}$

Область определения этой функции задается условием, что выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным. Числитель $g(x)$ является многочленом, который определен для любого действительного $x$ и не накладывает дополнительных ограничений.

$f(x) > 0$

Используя результаты предварительного анализа, получаем:

$x \in (-\infty, -1) \cup (4, \infty)$

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (4, \infty)$.

7.34. Пусть $D(f) = [-4; 1]$ — область определения функции $y = f(x)$. Найдите область определения функции:

а) $y = 15x - f(x);$

б) $y = \frac{7 + 4f(x)}{2 - x};$

в) $y = \frac{7 + 4f(x)}{4 + x};$

г) $y = \frac{x - 3f(x)}{4 - x^2}.$

По условию, область определения функции $y = f(x)$ есть $D(f) = [-4; 1]$. Это означает, что функция $f(x)$ определена для всех $x$, удовлетворяющих неравенству $-4 \le x \le 1$. Для нахождения области определения новых функций, мы должны учитывать это ограничение, а также любые другие ограничения, которые накладывает вид новой функции (например, деление на ноль).

а) $y = 15x - f(x)$
Данная функция является разностью двух функций: $g(x) = 15x$ и $h(x) = f(x)$.
Область определения функции $g(x) = 15x$ — все действительные числа, $D(g) = (-\infty; +\infty)$.
Область определения функции $h(x) = f(x)$ дана по условию: $D(f) = [-4; 1]$.
Область определения разности функций является пересечением областей определения этих функций. $$D(y) = D(g) \cap D(f) = (-\infty; +\infty) \cap [-4; 1] = [-4; 1]$$
Ответ: $D(y) = [-4; 1]$.

б) $y = \frac{7 + 4f(x)}{2 - x}$
Эта функция определена, когда определена функция $f(x)$ и знаменатель дроби не равен нулю.
1. Функция $f(x)$ определена при $x \in [-4; 1]$.
2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $2 - x \neq 0$, что означает $x \neq 2$.
Область определения функции $y$ является пересечением этих двух условий. Мы должны найти все $x$, которые принадлежат отрезку $[-4; 1]$ и при этом не равны 2.
Так как число 2 не входит в отрезок $[-4; 1]$, второе условие не накладывает дополнительных ограничений на область определения.
Следовательно, область определения совпадает с областью определения $f(x)$. $$D(y) = \{x \mid x \in [-4; 1] \text{ и } x \neq 2\} = [-4; 1]$$
Ответ: $D(y) = [-4; 1]$.

в) $y = \frac{7 + 4f(x)}{4 + x}$
Эта функция определена, когда определена функция $f(x)$ и знаменатель дроби не равен нулю.
1. Функция $f(x)$ определена при $x \in [-4; 1]$.
2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $4 + x \neq 0$, что означает $x \neq -4$.
Область определения функции $y$ является пересечением этих двух условий. Мы должны найти все $x$, которые принадлежат отрезку $[-4; 1]$ и при этом не равны -4.
Число -4 является левой границей отрезка $[-4; 1]$. Исключая эту точку, мы получаем полуинтервал. $$D(y) = \{x \mid x \in [-4; 1] \text{ и } x \neq -4\} = (-4; 1]$$
Ответ: $D(y) = (-4; 1]$.

г) $y = \frac{x - 3f(x)}{4 - x^2}$
Эта функция определена, когда определена функция $f(x)$ и знаменатель дроби не равен нулю.
1. Функция $f(x)$ определена при $x \in [-4; 1]$.
2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $4 - x^2 \neq 0$. $$4 - x^2 \neq 0 \implies x^2 \neq 4 \implies x \neq 2 \text{ и } x \neq -2$$ Область определения функции $y$ является пересечением этих условий. Мы должны найти все $x$, которые принадлежат отрезку $[-4; 1]$ и при этом не равны 2 и -2.
- Условие $x \neq 2$: число 2 не входит в отрезок $[-4; 1]$, поэтому это условие не меняет область определения.
- Условие $x \neq -2$: число -2 входит в отрезок $[-4; 1]$, поэтому его необходимо исключить.
Исключая точку $x = -2$ из отрезка $[-4; 1]$, мы получаем объединение двух интервалов. $$D(y) = \{x \mid x \in [-4; 1] \text{ и } x \neq -2\} = [-4; -2) \cup (-2; 1]$$
Ответ: $D(y) = [-4; -2) \cup (-2; 1]$.

7.35. Пусть $D(f) = [-5; 10]$. Найдите область определения функции:

а) $y = f(-x)$;

б) $y = |f(-x)|$;

в) $y = f(|-x|)$;

г) $y = f(-|x|)$.

По условию, область определения функции $f$, обозначаемая как $D(f)$, представляет собой отрезок $[-5; 10]$. Это означает, что функция $f$ определена для любого аргумента, принадлежащего этому отрезку. Для нахождения области определения сложной функции вида $y=f(g(x))$, необходимо, чтобы ее аргумент $g(x)$ находился в пределах области определения функции $f$. Таким образом, мы должны решить неравенство:
$-5 \le g(x) \le 10$.

а) $y = f(-x)$

В данном случае аргументом функции $f$ является выражение $g(x) = -x$. Чтобы найти область определения $D(y)$, нужно решить двойное неравенство:
$-5 \le -x \le 10$
Для того чтобы выразить $x$, умножим все части неравенства на $-1$. Важно помнить, что при умножении неравенства на отрицательное число его знаки меняются на противоположные:
$(-1) \cdot (-5) \ge (-1) \cdot (-x) \ge (-1) \cdot 10$
$5 \ge x \ge -10$
Запишем это неравенство в более привычном порядке, от меньшего к большему:
$-10 \le x \le 5$
Следовательно, область определения данной функции — это отрезок $[-10; 5]$.
Ответ: $D(y) = [-10; 5]$.

б) $y = |f(-x)|$

Область определения функции $y = |f(-x)|$ совпадает с областью определения функции $z = f(-x)$. Это связано с тем, что операция взятия модуля (абсолютной величины) может быть применена к любому действительному числу, которое выдает функция $f(-x)$, и, следовательно, не накладывает никаких дополнительных ограничений на возможные значения $x$.
Таким образом, область определения этой функции такая же, как и в пункте а).
Ответ: $D(y) = [-10; 5]$.

в) $y = f(|-x|)$

Аргументом функции $f$ здесь является выражение $g(x) = |-x|$. Воспользуемся свойством модуля: $|-a| = |a|$. Тогда функцию можно переписать в виде $y = f(|x|)$.
Теперь найдем область определения, решив неравенство:
$-5 \le |x| \le 10$
Это двойное неравенство можно разбить на систему из двух неравенств:
1) $|x| \ge -5$
2) $|x| \le 10$
Первое неравенство $|x| \ge -5$ истинно для любого действительного числа $x$, поскольку модуль числа всегда неотрицателен.
Второе неравенство $|x| \le 10$ означает, что расстояние от $x$ до нуля не превышает 10, что равносильно двойному неравенству $-10 \le x \le 10$.
Область определения является пересечением решений этих двух неравенств, то есть пересечением множества всех действительных чисел и отрезка $[-10; 10]$. Результатом является отрезок $[-10; 10]$.
Ответ: $D(y) = [-10; 10]$.

г) $y = f(-|x|)$

Аргументом функции $f$ является выражение $g(x) = -|x|$. Найдем область определения, решив неравенство:
$-5 \le -|x| \le 10$
Это двойное неравенство эквивалентно системе:
1) $-|x| \ge -5$
2) $-|x| \le 10$
Решим первое неравенство. Умножим обе части на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный:
$|x| \le 5$
Это неравенство эквивалентно $-5 \le x \le 5$.
Теперь решим второе неравенство. Умножим обе части на $-1$, изменив знак:
$|x| \ge -10$
Это неравенство верно для любого действительного $x$, так как модуль числа всегда больше или равен нулю.
Область определения функции есть пересечение решений обоих неравенств, то есть пересечение отрезка $[-5; 5]$ и множества всех действительных чисел. В результате получаем отрезок $[-5; 5]$.
Ответ: $D(y) = [-5; 5]$.