Номер 7.34, страница 48, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.34. Пусть $D(f) = [-4; 1]$ — область определения функции $y = f(x)$. Найдите область определения функции:

а) $y = 15x - f(x);$

б) $y = \frac{7 + 4f(x)}{2 - x};$

в) $y = \frac{7 + 4f(x)}{4 + x};$

г) $y = \frac{x - 3f(x)}{4 - x^2}.$

По условию, область определения функции $y = f(x)$ есть $D(f) = [-4; 1]$. Это означает, что функция $f(x)$ определена для всех $x$, удовлетворяющих неравенству $-4 \le x \le 1$. Для нахождения области определения новых функций, мы должны учитывать это ограничение, а также любые другие ограничения, которые накладывает вид новой функции (например, деление на ноль).

а) $y = 15x - f(x)$
Данная функция является разностью двух функций: $g(x) = 15x$ и $h(x) = f(x)$.
Область определения функции $g(x) = 15x$ — все действительные числа, $D(g) = (-\infty; +\infty)$.
Область определения функции $h(x) = f(x)$ дана по условию: $D(f) = [-4; 1]$.
Область определения разности функций является пересечением областей определения этих функций. $$D(y) = D(g) \cap D(f) = (-\infty; +\infty) \cap [-4; 1] = [-4; 1]$$
Ответ: $D(y) = [-4; 1]$.

б) $y = \frac{7 + 4f(x)}{2 - x}$
Эта функция определена, когда определена функция $f(x)$ и знаменатель дроби не равен нулю.
1. Функция $f(x)$ определена при $x \in [-4; 1]$.
2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $2 - x \neq 0$, что означает $x \neq 2$.
Область определения функции $y$ является пересечением этих двух условий. Мы должны найти все $x$, которые принадлежат отрезку $[-4; 1]$ и при этом не равны 2.
Так как число 2 не входит в отрезок $[-4; 1]$, второе условие не накладывает дополнительных ограничений на область определения.
Следовательно, область определения совпадает с областью определения $f(x)$. $$D(y) = \{x \mid x \in [-4; 1] \text{ и } x \neq 2\} = [-4; 1]$$
Ответ: $D(y) = [-4; 1]$.

в) $y = \frac{7 + 4f(x)}{4 + x}$
Эта функция определена, когда определена функция $f(x)$ и знаменатель дроби не равен нулю.
1. Функция $f(x)$ определена при $x \in [-4; 1]$.
2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $4 + x \neq 0$, что означает $x \neq -4$.
Область определения функции $y$ является пересечением этих двух условий. Мы должны найти все $x$, которые принадлежат отрезку $[-4; 1]$ и при этом не равны -4.
Число -4 является левой границей отрезка $[-4; 1]$. Исключая эту точку, мы получаем полуинтервал. $$D(y) = \{x \mid x \in [-4; 1] \text{ и } x \neq -4\} = (-4; 1]$$
Ответ: $D(y) = (-4; 1]$.

г) $y = \frac{x - 3f(x)}{4 - x^2}$
Эта функция определена, когда определена функция $f(x)$ и знаменатель дроби не равен нулю.
1. Функция $f(x)$ определена при $x \in [-4; 1]$.
2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $4 - x^2 \neq 0$. $$4 - x^2 \neq 0 \implies x^2 \neq 4 \implies x \neq 2 \text{ и } x \neq -2$$ Область определения функции $y$ является пересечением этих условий. Мы должны найти все $x$, которые принадлежат отрезку $[-4; 1]$ и при этом не равны 2 и -2.
- Условие $x \neq 2$: число 2 не входит в отрезок $[-4; 1]$, поэтому это условие не меняет область определения.
- Условие $x \neq -2$: число -2 входит в отрезок $[-4; 1]$, поэтому его необходимо исключить.
Исключая точку $x = -2$ из отрезка $[-4; 1]$, мы получаем объединение двух интервалов. $$D(y) = \{x \mid x \in [-4; 1] \text{ и } x \neq -2\} = [-4; -2) \cup (-2; 1]$$
Ответ: $D(y) = [-4; -2) \cup (-2; 1]$.