Номер 7.41, страница 49, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Найдите область значений функции:

7.41. a) $y = 1 - 2x$;

б) $y = 1 - 2x^2$;

в) $y = 3x^2 - 12x + 1$;

г) $y = -3x^2 - 12x + 1, x \in [-6, 1)$.

а) $y = 1 - 2x$

Данная функция является линейной. Графиком линейной функции является прямая линия. Область определения ($D(y)$) и область значений ($E(y)$) для любой неконстантной линейной функции — это множество всех действительных чисел. В данном случае, когда $x$ может принимать любое действительное значение, $y$ также может принимать любое действительное значение.

Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

б) $y = 1 - 2x^2$

Данная функция является квадратичной. Ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-2$, он отрицательный, следовательно, ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция имеет наибольшее значение в своей вершине и не имеет наименьшего значения.
Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины $x_0$ вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае $a = -2$, $b = 0$.
$x_0 = -\frac{0}{2 \cdot (-2)} = 0$.
Найдем ординату вершины $y_0$, подставив $x_0$ в уравнение функции. Это и будет максимальное значение функции.
$y_0 = y(0) = 1 - 2(0)^2 = 1$.
Поскольку ветви параболы направлены вниз, область значений функции — это все числа, меньшие или равные значению в вершине.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 1]$.

в) $y = 3x^2 - 12x + 1$

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $3$, он положительный, значит, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, функция имеет наименьшее значение в своей вершине и не имеет наибольшего значения.
Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Здесь $a = 3$, $b = -12$.
$x_0 = -\frac{-12}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$.
Найдем ординату вершины $y_0$, которая является наименьшим значением функции:
$y_0 = y(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 1 = 3 \cdot 4 - 24 + 1 = 12 - 24 + 1 = -11$.
Так как ветви параболы направлены вверх, область значений функции — это все числа, большие или равные значению в вершине.

Ответ: $E(y) = [-11; +\infty)$.

г) $y = -3x^2 - 12x + 1, x \in [-6, 1]$

Это квадратичная функция, область определения которой ограничена отрезком $[-6, 1]$. График — парабола с ветвями, направленными вниз (так как $a = -3 < 0$).
Чтобы найти область значений на отрезке, нужно найти значения функции на концах отрезка и в вершине параболы, если абсцисса вершины принадлежит этому отрезку. Наибольшее из полученных значений будет верхней границей области значений, а наименьшее — нижней.
1. Найдем абсциссу вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{2 \cdot (-3)} = \frac{12}{-6} = -2$.
2. Абсцисса вершины $x_0 = -2$ принадлежит отрезку $[-6, 1]$. Так как ветви параболы направлены вниз, в этой точке функция достигает своего наибольшего значения.
$y_{наиб} = y(-2) = -3(-2)^2 - 12(-2) + 1 = -3(4) + 24 + 1 = -12 + 24 + 1 = 13$.
3. Найдем значения функции на концах отрезка:
$y(-6) = -3(-6)^2 - 12(-6) + 1 = -3(36) + 72 + 1 = -108 + 72 + 1 = -35$.
$y(1) = -3(1)^2 - 12(1) + 1 = -3 - 12 + 1 = -14$.
4. Сравниваем полученные значения: $y(-2)=13$, $y(-6)=-35$, $y(1)=-14$. Наибольшее значение равно $13$, а наименьшее равно $-35$.
Следовательно, область значений функции на данном отрезке — от $-35$ до $13$ включительно.

Ответ: $E(y) = [-35; 13]$.