Номер 7.36, страница 49, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.36. Пусть $D(f) = [-2; 9]$. Найдите область определения функции:

а) $y = 4f(x - 1)$;

б) $y = -4f(x + 11)$;

в) $y = 4 \cdot f(x) - 1$;

г) $y = -4 \cdot f(x) + 11$.

Исходная область определения функции $f$, обозначаемая как $D(f)$, — это отрезок $[-2; 9]$. Это означает, что функция $f(t)$ определена тогда и только тогда, когда ее аргумент $t$ удовлетворяет двойному неравенству $-2 \le t \le 9$. Для нахождения областей определения заданных функций необходимо убедиться, что выражение, стоящее в качестве аргумента у функции $f$, находится в указанных пределах.

а) $y = 4f(x - 1)$
Область определения этой функции находится из условия, что аргумент функции $f$, то есть выражение $(x - 1)$, должен принадлежать области определения $D(f) = [-2; 9]$.
Составим и решим двойное неравенство:
$-2 \le x - 1 \le 9$
Прибавим 1 ко всем частям неравенства, чтобы выразить $x$:
$-2 + 1 \le x - 1 + 1 \le 9 + 1$
$-1 \le x \le 10$
Таким образом, областью определения для данной функции является отрезок $[-1; 10]$. Коэффициент 4 перед функцией влияет на ее область значений (растяжение вдоль оси Y), но не на область определения.
Ответ: $D(y) = [-1; 10]$.

б) $y = -4f(x + 11)$
Аналогично предыдущему пункту, аргумент функции $f$, равный $(x + 11)$, должен находиться в пределах области определения $D(f)$.
Запишем соответствующее неравенство:
$-2 \le x + 11 \le 9$
Вычтем 11 из всех частей неравенства, чтобы найти $x$:
$-2 - 11 \le x + 11 - 11 \le 9 - 11$
$-13 \le x \le -2$
Следовательно, областью определения для данной функции является отрезок $[-13; -2]$.
Ответ: $D(y) = [-13; -2]$.

в) $y = 4 \cdot f(x) - 1$
В данном случае аргументом функции $f$ является сама переменная $x$. Функция $y$ определена тогда, когда определена функция $f(x)$.
По условию, область определения $f(x)$ — это $D(f) = [-2; 9]$.
Преобразования, выполняемые над значением функции $f(x)$ (умножение на 4 и вычитание 1), являются вертикальным растяжением и сдвигом. Эти преобразования изменяют область значений функции (множество всех возможных значений $y$), но не ее область определения (множество всех допустимых значений $x$).
Таким образом, область определения функции $y = 4 \cdot f(x) - 1$ совпадает с областью определения функции $f(x)$.
Ответ: $D(y) = [-2; 9]$.

г) $y = -4 \cdot f(x) + 11$
Как и в пункте в), аргументом функции $f$ является переменная $x$. Область определения функции $y$ полностью определяется областью определения $f(x)$.
Поскольку $D(f) = [-2; 9]$, то и для функции $y$ переменная $x$ должна принадлежать этому же отрезку.
Умножение на -4 и прибавление 11 являются преобразованиями, которые не влияют на область определения. Они вызывают растяжение, отражение относительно оси абсцисс и сдвиг графика функции вдоль оси ординат, изменяя тем самым область значений, но не область определения.
Следовательно, область определения функции $y = -4 \cdot f(x) + 11$ также совпадает с $D(f)$.
Ответ: $D(y) = [-2; 9]$.