Номер 7.37, страница 49, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.37. a) При каких значениях параметра $a$ функция $y = 3 - \sqrt{x - a}$ определена во всех точках отрезка $[-11; 7]$?

б) При каких значениях параметра $a$ функция $y = 3 - \sqrt{x - 3}$ определена во всех точках отрезка $[a - 1; a + 1]$?

а)

Область определения функции $y = 3 - \sqrt{x - a}$ задается условием неотрицательности подкоренного выражения: $x - a \ge 0$. Решая это неравенство относительно $x$, получаем: $x \ge a$. Таким образом, область определения функции (ОДЗ) — это промежуток $[a; +\infty)$.

По условию, функция должна быть определена во всех точках отрезка $[-11; 7]$. Это означает, что данный отрезок должен полностью содержаться в области определения функции. Математически это можно записать как: $[-11; 7] \subseteq [a; +\infty)$.

Чтобы отрезок $[-11; 7]$ входил в луч $[a; +\infty)$, необходимо, чтобы левая граница отрезка, то есть наименьшее значение $x$ на нем, была не меньше, чем $a$. Следовательно, должно выполняться неравенство: $-11 \ge a$, или $a \le -11$.

При выполнении этого условия любая точка $x$ из отрезка $[-11; 7]$ будет удовлетворять неравенству $x \ge -11 \ge a$, а значит, будет входить в область определения функции.

Ответ: $a \in (-\infty; -11]$.

б)

Область определения функции $y = 3 - \sqrt{x - 3}$ задается условием неотрицательности подкоренного выражения: $x - 3 \ge 0$. Решая это неравенство относительно $x$, получаем: $x \ge 3$. Таким образом, область определения функции (ОДЗ) — это промежуток $[3; +\infty)$.

По условию, функция должна быть определена во всех точках отрезка $[a - 1; a + 1]$. Это означает, что данный отрезок должен полностью содержаться в области определения функции. Математически это можно записать как: $[a - 1; a + 1] \subseteq [3; +\infty)$.

Чтобы отрезок $[a - 1; a + 1]$ входил в луч $[3; +\infty)$, необходимо, чтобы левая граница отрезка, то есть наименьшее значение $x$ на нем, была не меньше, чем $3$. Следовательно, должно выполняться неравенство: $a - 1 \ge 3$.

Решим полученное неравенство относительно параметра $a$: $a \ge 3 + 1$ $a \ge 4$.

При выполнении этого условия любая точка $x$ из отрезка $[a - 1; a + 1]$ будет удовлетворять неравенству $x \ge a - 1 \ge 3$, а значит, будет входить в область определения функции.

Ответ: $a \in [4; +\infty)$.