Номер 7.39, страница 49, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.39. а) Докажите, что если число $b$ принадлежит области определения функции $y = \sqrt{x^4 - 7x + 3} - \sqrt{x^4 + 7x + 3}$, то и число $(-b)$ принадлежит этой области.

б) Докажите, что если число $b$ не принадлежит области определения функции $y = \sqrt{x^5 - x + 3} + \sqrt{-x^5 + x + 3}$, то и число $(-b)$ не принадлежит этой области.

а)

Область определения функции $y = \sqrt{x^4 - 7x + 3} - \sqrt{x^4 + 7x + 3}$ задается системой неравенств, так как подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$ \begin{cases} x^4 - 7x + 3 \ge 0 \\ x^4 + 7x + 3 \ge 0 \end{cases} $

Пусть число $b$ принадлежит области определения функции. Это означает, что при подстановке $x = b$ оба неравенства системы выполняются:

$ \begin{cases} b^4 - 7b + 3 \ge 0 & (1) \\ b^4 + 7b + 3 \ge 0 & (2) \end{cases} $

Теперь проверим, принадлежит ли число $(-b)$ области определения. Для этого подставим $x = -b$ в систему неравенств, определяющую область определения:

$ \begin{cases} (-b)^4 - 7(-b) + 3 \ge 0 \\ (-b)^4 + 7(-b) + 3 \ge 0 \end{cases} $

Упростим полученные выражения, учитывая, что $(-b)^4 = b^4$:

$ \begin{cases} b^4 + 7b + 3 \ge 0 \\ b^4 - 7b + 3 \ge 0 \end{cases} $

Первое неравенство этой системы, $b^4 + 7b + 3 \ge 0$, совпадает с неравенством (2), которое является верным по нашему предположению. Второе неравенство, $b^4 - 7b + 3 \ge 0$, совпадает с неравенством (1), которое также является верным.

Поскольку оба условия для $x = -b$ выполняются, то число $(-b)$ также принадлежит области определения функции. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что если число $b$ принадлежит области определения, то и число $(-b)$ принадлежит этой области.

б)

Область определения функции $y = \sqrt{x^5 - x + 3} + 3\sqrt{-x^5 + x + 3}$ задается системой неравенств:

$ \begin{cases} x^5 - x + 3 \ge 0 \\ -x^5 + x + 3 \ge 0 \end{cases} $

По условию, число $b$ не принадлежит области определения. Это означает, что при подстановке $x = b$ хотя бы одно из этих неравенств не выполняется. То есть, верно хотя бы одно из следующих строгих неравенств:

$b^5 - b + 3 < 0$ или $-b^5 + b + 3 < 0$.

Теперь проверим, при каких условиях число $(-b)$ не принадлежит области определения. Число $(-b)$ не будет принадлежать области определения, если при подстановке $x = -b$ не выполнится хотя бы одно из неравенств исходной системы. Подставим $x = -b$:

$ \begin{cases} (-b)^5 - (-b) + 3 \ge 0 \\ -((-b)^5) + (-b) + 3 \ge 0 \end{cases} $

Упростим систему, учитывая, что $(-b)^5 = -b^5$:

$ \begin{cases} -b^5 + b + 3 \ge 0 \\ -(-b^5) - b + 3 \ge 0 \end{cases} $

$ \begin{cases} -b^5 + b + 3 \ge 0 \\ b^5 - b + 3 \ge 0 \end{cases} $

Число $(-b)$ не принадлежит области определения, если не выполняется хотя бы одно из этих двух неравенств, то есть:

$-b^5 + b + 3 < 0$ или $b^5 - b + 3 < 0$.

Сравнивая условие, при котором $b$ не принадлежит области определения ( $b^5 - b + 3 < 0$ или $-b^5 + b + 3 < 0$ ), с условием, при котором $(-b)$ не принадлежит области определения ( $-b^5 + b + 3 < 0$ или $b^5 - b + 3 < 0$ ), мы видим, что эти условия абсолютно идентичны.

Следовательно, если число $b$ не удовлетворяет условиям области определения, то и число $(-b)$ им не удовлетворяет. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что если число $b$ не принадлежит области определения, то и число $(-b)$ не принадлежит этой области.