Номер 7.46, страница 50, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.46. a) Докажите, что все значения функции $y = 5x + 3$ положительны в окрестности точки $0$ (см. упражнение $4.21$) радиусом $0,2$.

б) Докажите, что в $0,5$-окрестности точки $-1$ (см. упражнение $4.21$) найдутся как положительные, так и отрицательные значения функции $y = 5x + 3$.

а)

Требуется доказать, что все значения функции $y = 5x + 3$ являются положительными в окрестности точки $0$ радиусом $0,2$.

Окрестность точки $x_0 = 0$ радиусом $r = 0,2$ — это открытый интервал $(x_0 - r, x_0 + r)$, то есть $(0 - 0,2, 0 + 0,2)$, что соответствует интервалу $(-0,2, 0,2)$.

Это означает, что переменная $x$ удовлетворяет двойному неравенству:
$-0,2 < x < 0,2$

Чтобы найти, в каком диапазоне находятся значения функции $y$, выполним преобразования с этим неравенством. Сначала умножим все его части на 5. Поскольку 5 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:
$5 \cdot (-0,2) < 5x < 5 \cdot 0,2$
$-1 < 5x < 1$

Теперь прибавим 3 ко всем частям неравенства:
$-1 + 3 < 5x + 3 < 1 + 3$
$2 < 5x + 3 < 4$

Так как $y = 5x + 3$, мы получили, что для всех $x$ из указанной окрестности значения функции $y$ лежат в интервале $(2, 4)$.
$2 < y < 4$

Любое число из интервала $(2, 4)$ является положительным. Следовательно, все значения функции в окрестности точки 0 радиусом 0,2 положительны, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано. В указанной окрестности значения $x$ лежат в интервале $(-0,2, 0,2)$, что приводит к значениям функции $y$ в интервале $(2, 4)$. Все эти значения положительны.

б)

Требуется доказать, что в 0,5-окрестности точки $-1$ существуют как положительные, так и отрицательные значения функции $y = 5x + 3$.

0,5-окрестность точки $x_0 = -1$ — это открытый интервал $(-1 - 0,5, -1 + 0,5)$, что соответствует интервалу $(-1,5, -0,5)$.

Чтобы доказать утверждение, достаточно найти в этом интервале одну точку, где функция принимает положительное значение, и другую, где она принимает отрицательное значение.

Найдем точку, в которой функция меняет знак, то есть ее корень (где $y = 0$):
$5x + 3 = 0$
$5x = -3$
$x = -3/5 = -0,6$

Проверим, принадлежит ли точка $x = -0,6$ нашему интервалу $(-1,5, -0,5)$. Так как $-1,5 < -0,6 < -0,5$, точка принадлежит окрестности.

Поскольку корень функции находится внутри рассматриваемого интервала, это означает, что при переходе через точку $x = -0,6$ функция меняет знак. Функция $y = 5x+3$ является возрастающей, значит:
- для $x > -0,6$ значения функции будут положительными.
- для $x < -0,6$ значения функции будут отрицательными.

Приведем конкретные примеры:
1. Возьмем точку $x_1$ из интервала так, чтобы $x_1 > -0,6$. Например, $x_1 = -0,55$. Эта точка принадлежит окрестности $(-1,5, -0,5)$. Найдем значение функции:
$y(-0,55) = 5(-0,55) + 3 = -2,75 + 3 = 0,25$.
Значение $0,25$ положительное.
2. Возьмем точку $x_2$ из интервала так, чтобы $x_2 < -0,6$. Например, $x_2 = -1$. Эта точка также принадлежит окрестности $(-1,5, -0,5)$. Найдем значение функции:
$y(-1) = 5(-1) + 3 = -5 + 3 = -2$.
Значение $-2$ отрицательное.

Мы нашли в 0,5-окрестности точки -1 как положительное, так и отрицательное значение функции. Утверждение доказано.

Ответ: Доказано. В окрестности $(-1,5, -0,5)$ корень функции $x=-0,6$ разделяет интервал на две части, где функция принимает значения разных знаков. Например, при $x = -0,55$ имеем $y = 0,25 > 0$, а при $x = -1$ имеем $y = -2 < 0$.