Номер 7.53, страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.53. a) Определите, при каких значениях параметра a уравнение $x^2 - ax + 3 = 0$ имеет корни, и найдите область $E(f)$ значений функции $y = \frac{x^2 + 3}{x}$;

б) определите, при каких значениях параметра a уравнение $ax^2 - 4x + a = 0$ имеет корни, и найдите область $E(f)$ значений функции $y = \frac{4x}{x^2 + 1}$.

Рассмотрим квадратное уравнение $x^2 - ax + 3 = 0$. Квадратное уравнение имеет действительные корни тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ неотрицателен, то есть $D \ge 0$.

Дискриминант для данного уравнения равен: $D = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = a^2 - 12$.

Решим неравенство $a^2 - 12 \ge 0$, что равносильно $a^2 \ge 12$.

Отсюда $a \le -\sqrt{12}$ или $a \ge \sqrt{12}$. Так как $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$, получаем, что уравнение имеет корни при $a \in (-\infty, -2\sqrt{3}] \cup [2\sqrt{3}, \infty)$.

Теперь найдем область значений $E(f)$ функции $y = \frac{x^2 + 3}{x}$.

Область значений функции — это множество всех значений $y$, для которых существует хотя бы одно значение $x$ из области определения функции ($x \ne 0$) такое, что $y = \frac{x^2 + 3}{x}$. Преобразуем это уравнение: $yx = x^2 + 3$, что эквивалентно квадратному уравнению относительно $x$: $x^2 - yx + 3 = 0$.

Это уравнение имеет действительные решения для $x$ тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен. Заметим, что это то же самое уравнение, что и в первой части задания, где параметр $a$ заменен на $y$.

Следовательно, условие существования корней для $x$ такое же: $y^2 - 12 \ge 0$. Решением этого неравенства является $y \in (-\infty, -2\sqrt{3}] \cup [2\sqrt{3}, \infty)$. Это и есть область значений функции.

Ответ: уравнение $x^2 - ax + 3 = 0$ имеет корни при $a \in (-\infty, -2\sqrt{3}] \cup [2\sqrt{3}, \infty)$; область значений функции $E(f) = (-\infty, -2\sqrt{3}] \cup [2\sqrt{3}, \infty)$.

Рассмотрим уравнение $ax^2 - 4x + a = 0$. Необходимо рассмотреть два случая для параметра $a$.

1. Если $a = 0$, уравнение становится линейным: $-4x = 0$. Оно имеет единственный корень $x=0$. Следовательно, $a=0$ является решением.

2. Если $a \ne 0$, уравнение является квадратным. Оно имеет действительные корни, если его дискриминант $D \ge 0$. $D = (-4)^2 - 4 \cdot a \cdot a = 16 - 4a^2$.

Решим неравенство $16 - 4a^2 \ge 0$. $16 \ge 4a^2 \implies 4 \ge a^2 \implies a^2 \le 4$. Это неравенство выполняется при $-2 \le a \le 2$.

Объединяя результаты обоих случаев ($a=0$ и $a \in [-2, 2], a \ne 0$), получаем, что уравнение имеет корни при $a \in [-2, 2]$.

Теперь найдем область значений $E(f)$ функции $y = \frac{4x}{x^2 + 1}$.

Область значений — это множество всех $y$, для которых уравнение $y = \frac{4x}{x^2 + 1}$ имеет хотя бы одно действительное решение $x$. Преобразуем уравнение (знаменатель $x^2+1$ всегда положителен): $y(x^2 + 1) = 4x \implies yx^2 + y = 4x \implies yx^2 - 4x + y = 0$.

Это уравнение относительно $x$ с параметром $y$. Оно имеет действительные решения для $x$, если выполняются условия, которые мы нашли для параметра $a$ в первой части этого пункта. Таким образом, параметр $y$ должен удовлетворять условию $y \in [-2, 2]$. Это и есть область значений функции.

Ответ: уравнение $ax^2 - 4x + a = 0$ имеет корни при $a \in [-2, 2]$; область значений функции $E(f) = [-2, 2]$.