Номер 7.47, страница 50, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.47. Пусть область значений функции $y = f(x)$ есть отрезок $[-3; 5]$. Найдите множество значений функции:

a) $y = (f(x))^2$;

б) $y = |f(x)|$;

в) $y = (f(x))^3$;

г) $y = \sqrt{4 + f(x)}$.

По условию задачи, область значений функции $y = f(x)$ — это отрезок $[-3; 5]$. Это означает, что для любого значения $z$ из этого отрезка ($ -3 \le z \le 5 $) существует такое $x$, что $f(x)=z$. Чтобы найти область значений преобразованных функций, мы будем рассматривать, какие значения они принимают, когда их аргумент $f(x)$ пробегает все значения от -3 до 5.

а) $y = (f(x))^2$

Пусть $z = f(x)$, тогда $-3 \le z \le 5$. Нам нужно найти множество значений функции $y = z^2$ для $z \in [-3; 5]$.

Функция $g(z) = z^2$ неотрицательна, то есть $y \ge 0$. Так как отрезок $[-3; 5]$ содержит точку $z=0$, наименьшее значение функции будет равно $0^2 = 0$.

Наибольшее значение функции на отрезке достигается на одном из его концов. Найдем значения на концах отрезка:

• При $z = -3$, $y = (-3)^2 = 9$.
• При $z = 5$, $y = 5^2 = 25$.

Сравнивая эти значения, видим, что наибольшее значение равно 25. Таким образом, множество значений функции $y$ — это все числа от 0 до 25 включительно.

Ответ: $[0; 25]$.

б) $y = |f(x)|$

Пусть $z = f(x)$, тогда $-3 \le z \le 5$. Нам нужно найти множество значений функции $y = |z|$ для $z \in [-3; 5]$.

Функция $y = |z|$ по определению неотрицательна. Наименьшее значение достигается при $z=0$, которое принадлежит отрезку $[-3; 5]$. Следовательно, наименьшее значение функции $y$ равно $|0| = 0$.

Наибольшее значение модуля на отрезке будет равно наибольшему из модулей его концов:

• $|-3| = 3$
• $|5| = 5$

Наибольшее значение равно 5. Таким образом, множество значений функции $y$ — это все числа от 0 до 5 включительно.

Ответ: $[0; 5]$.

в) $y = (f(x))^3$

Пусть $z = f(x)$, тогда $-3 \le z \le 5$. Нам нужно найти множество значений функции $y = z^3$ для $z \in [-3; 5]$.

Функция $g(z) = z^3$ является монотонно возрастающей на всей числовой прямой. Это значит, что для отрезка $[-3; 5]$ наименьшее значение будет при $z=-3$, а наибольшее — при $z=5$.

• Наименьшее значение: $y = (-3)^3 = -27$.
• Наибольшее значение: $y = 5^3 = 125$.

Таким образом, множество значений функции $y$ — это все числа от -27 до 125 включительно.

Ответ: $[-27; 125]$.

г) $y = \sqrt{4 + f(x)}$

Пусть $z = f(x)$, тогда $-3 \le z \le 5$. Нам нужно найти множество значений функции $y = \sqrt{4 + z}$ для $z \in [-3; 5]$.

Во-первых, убедимся, что функция определена для всех $z \in [-3; 5]$. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $4 + z \ge 0$, что означает $z \ge -4$. Весь отрезок $[-3; 5]$ удовлетворяет этому условию.

Функция $g(z) = \sqrt{4 + z}$ является монотонно возрастающей на всей своей области определения, а значит и на отрезке $[-3; 5]$. Следовательно, наименьшее и наибольшее значения будут достигаться на концах этого отрезка.

• Наименьшее значение: при $z = -3$, $y = \sqrt{4 + (-3)} = \sqrt{1} = 1$.
• Наибольшее значение: при $z = 5$, $y = \sqrt{4 + 5} = \sqrt{9} = 3$.

Таким образом, множество значений функции $y$ — это все числа от 1 до 3 включительно.

Ответ: $[1; 3]$.