Номер 7.49, страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.49. Пусть область значений функции $y = f(x - 5)$ есть отрезок $[-3; 5]$. Найдите множество значений функции:

а) $y = f(x);$

б) $y = 5 - f(x + 5);$

в) $y = 5 - f(x);$

г) $y = a - f(x + b).$

Пусть $E(g)$ обозначает область значений (множество значений) функции $g(x)$. По условию, для функции $y = f(x - 5)$ область значений есть отрезок $E(f(x-5)) = [-3; 5]$.

График функции $y = f(x-5)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем сдвига на 5 единиц вправо вдоль оси абсцисс. Такой горизонтальный сдвиг не изменяет множество значений, которые принимает функция. Следовательно, область значений функции $y = f(x)$ также является отрезком $[-3; 5]$.

Таким образом, мы знаем, что $E(f(x)) = [-3; 5]$. Это означает, что для любого аргумента $z$ из области определения функции $f$ выполняется двойное неравенство: $-3 \le f(z) \le 5$. Это ключевое свойство мы будем использовать для решения всех подпунктов.

а) $y = f(x)$

Как было показано во вступлении, область значений функции $y = f(x)$ совпадает с областью значений функции $y = f(x-5)$, так как преобразование аргумента $x \rightarrow x-5$ является горизонтальным сдвигом, который не влияет на множество принимаемых функцией значений.

Ответ: $[-3; 5]$.

б) $y = 5 - f(x + 5)$

Сначала определим область значений для $f(x+5)$. Преобразование $x \rightarrow x+5$ также является горизонтальным сдвигом (на 5 единиц влево), поэтому область значений не меняется: $E(f(x+5)) = [-3; 5]$.

Мы имеем двойное неравенство:

$-3 \le f(x+5) \le 5$.

Чтобы найти область значений для $y = 5 - f(x+5)$, выполним преобразования с этим неравенством.

1. Умножим все части неравенства на $-1$. При этом знаки неравенства меняются на противоположные:

$3 \ge -f(x+5) \ge -5$, что эквивалентно $-5 \le -f(x+5) \le 3$.

2. Прибавим ко всем частям число 5:

$5 - 5 \le 5 - f(x+5) \le 5 + 3$.

В результате получаем:

$0 \le y \le 8$.

Следовательно, множество значений функции — это отрезок $[0; 8]$.

Ответ: $[0; 8]$.

в) $y = 5 - f(x)$

Мы знаем, что область значений для $f(x)$ есть $[-3; 5]$, то есть $-3 \le f(x) \le 5$.

Выполним преобразования, чтобы найти область значений для $y = 5 - f(x)$.

1. Умножим неравенство на $-1$:

$-5 \le -f(x) \le 3$.

2. Прибавим 5 ко всем частям:

$5 - 5 \le 5 - f(x) \le 5 + 3$.

Получаем:

$0 \le y \le 8$.

Таким образом, искомое множество значений — это отрезок $[0; 8]$.

Ответ: $[0; 8]$.

г) $y = a - f(x + b)$

Здесь $a$ и $b$ — некоторые параметры (константы).

Область значений функции $f(x+b)$ совпадает с областью значений $f(x)$ и равна $[-3; 5]$, так как сдвиг по оси $x$ на $b$ (горизонтальный сдвиг) не меняет множество значений.

Итак, мы исходим из неравенства: $-3 \le f(x+b) \le 5$.

Теперь найдем область значений для $y = a - f(x+b)$:

1. Умножим неравенство на $-1$:

$-5 \le -f(x+b) \le 3$.

2. Прибавим ко всем частям константу $a$:

$a - 5 \le a - f(x+b) \le a + 3$.

Таким образом, $a - 5 \le y \le a + 3$.

Искомое множество значений — это отрезок $[a - 5; a + 3]$.

Ответ: $[a - 5; a + 3]$.