Номер 7.51, страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.51. Найдите область значений функции:

a) $y = |x| \cdot (x - 6) - 2$;

б) $y = x \cdot |x - 6| - 2$.

а) $y = |x| \cdot (x - 6) - 2$

Для нахождения области значений данной функции необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака $x$.

1. Пусть $x \ge 0$. В этом случае $|x| = x$, и функция принимает вид:

$y = x(x - 6) - 2 = x^2 - 6x - 2$.

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола с ветвями, направленными вверх. Наименьшее значение такой функции достигается в её вершине. Найдем координаты вершины. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -b/(2a)$:$x_v = \frac{-(-6)}{2 \cdot 1} = 3$.

Поскольку значение $x_v = 3$ принадлежит рассматриваемому промежутку $[0, \infty)$, то наименьшее значение функции на этом промежутке равно ординате вершины:

$y_v = y(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 - 2 = 9 - 18 - 2 = -11$.

Так как ветви параболы уходят в бесконечность, то на промежутке $x \ge 0$ функция принимает все значения из промежутка $[-11, +\infty)$.

2. Пусть $x < 0$. В этом случае $|x| = -x$, и функция принимает вид:

$y = -x(x - 6) - 2 = -x^2 + 6x - 2$.

Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз. Найдем абсциссу её вершины:

$x_v = \frac{-6}{2 \cdot (-1)} = 3$.

Вершина параболы находится в точке $x=3$, которая не входит в рассматриваемый промежуток $(-\infty, 0)$. Поскольку ветви параболы направлены вниз, на промежутке $(-\infty, 3)$ функция возрастает. Следовательно, на промежутке $(-\infty, 0)$ она также возрастает.

При $x \to -\infty$ значение $y \to -\infty$. Верхней границей значений на этом промежутке будет значение функции при $x \to 0$ (слева):

$\lim_{x \to 0^-} (-x^2 + 6x - 2) = -2$.

Таким образом, на промежутке $x < 0$ функция принимает все значения из промежутка $(-\infty, -2)$.

Область значений исходной функции является объединением областей значений, найденных в обоих случаях:

$E(y) = (-\infty, -2) \cup [-11, +\infty)$.

Объединение этих двух множеств покрывает всю числовую прямую.

Ответ: $(-\infty, +\infty)$.

б) $y = x \cdot |x - 6| - 2$

Для нахождения области значений этой функции раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака выражения $(x - 6)$.

1. Пусть $x - 6 \ge 0$, то есть $x \ge 6$. В этом случае $|x - 6| = x - 6$, и функция принимает вид:

$y = x(x - 6) - 2 = x^2 - 6x - 2$.

Это парабола с ветвями вверх. Абсцисса её вершины $x_v = 3$. Это значение не принадлежит рассматриваемому промежутку $[6, +\infty)$. Поскольку $x_v < 6$, на всем промежутке $[6, +\infty)$ функция является возрастающей. Её наименьшее значение на этом промежутке достигается в его начальной точке $x = 6$.

$y(6) = 6^2 - 6 \cdot 6 - 2 = 36 - 36 - 2 = -2$.

При $x \to +\infty$, $y \to +\infty$. Таким образом, на промежутке $x \ge 6$ функция принимает все значения из промежутка $[-2, +\infty)$.

2. Пусть $x - 6 < 0$, то есть $x < 6$. В этом случае $|x - 6| = -(x - 6) = 6 - x$, и функция принимает вид:

$y = x(6 - x) - 2 = -x^2 + 6x - 2$.

Это парабола с ветвями вниз. Абсцисса её вершины $x_v = 3$. Это значение принадлежит рассматриваемому промежутку $(-\infty, 6)$. Следовательно, наибольшее значение функции на этом промежутке достигается в вершине.

$y_v = y(3) = -(3^2) + 6 \cdot 3 - 2 = -9 + 18 - 2 = 7$.

Так как ветви параболы направлены вниз, на промежутке $x < 6$ функция принимает все значения от $-\infty$ до своего максимума $7$. Область значений на этом промежутке: $(-\infty, 7]$.

Общая область значений исходной функции является объединением областей значений, найденных в обоих случаях:

$E(y) = (-\infty, 7] \cup [-2, +\infty)$.

Объединение этих двух множеств покрывает всю числовую прямую.

Ответ: $(-\infty, +\infty)$.