Номер 7.57, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Постройте график функции. Для каждой функции укажите область определения, множество значений, промежутки монотонности, нули функции:

7.57. a) $y = |x - 5|$;

б) $y = |x + 3| + |1 - x|$;

в) $y = 2 - |1 - x|$;

г) $y = |x + 3| - |1 - x|$.

а) $y = |x - 5|$

Для построения графика функции $y = |x - 5|$ можно использовать преобразование графика функции $y = |x|$. График $y = |x - 5|$ получается сдвигом графика $y = |x|$ на 5 единиц вправо вдоль оси Ox. График представляет собой "галочку" с вершиной в точке $(5, 0)$.

Также можно раскрыть модуль. Функция является кусочно-линейной:
1. Если $x - 5 \ge 0$, то есть $x \ge 5$, то $y = x - 5$.
2. Если $x - 5 < 0$, то есть $x < 5$, то $y = -(x - 5) = 5 - x$.

Итак, $y = \begin{cases} 5 - x, & \text{если } x < 5 \\ x - 5, & \text{если } x \ge 5 \end{cases}$

Область определения: Выражение $|x - 5|$ определено для любых действительных значений $x$.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений: Модуль любого числа — неотрицательная величина, поэтому $|x - 5| \ge 0$. Минимальное значение достигается при $x=5$ и равно 0.
$E(y) = [0; +\infty)$.

Промежутки монотонности:
- На промежутке $(-\infty; 5]$ функция имеет вид $y = 5 - x$. Это убывающая линейная функция.
- На промежутке $[5; +\infty)$ функция имеет вид $y = x - 5$. Это возрастающая линейная функция.
Функция убывает при $x \in (-\infty; 5]$.
Функция возрастает при $x \in [5; +\infty)$.

Нули функции: Решим уравнение $y = 0$.
$|x - 5| = 0$
$x - 5 = 0$
$x = 5$

Ответ:
Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Множество значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
Промежутки монотонности: убывает на $(-\infty; 5]$, возрастает на $[5; +\infty)$.
Нули функции: $x = 5$.

б) $y = |x + 3| + |1 - x|$

Для построения графика раскроем модули. Найдем точки, в которых выражения под модулем обращаются в ноль: $x + 3 = 0 \implies x = -3$ и $1 - x = 0 \implies x = 1$. Эти точки делят числовую ось на три интервала.

1. При $x < -3$: $|x + 3| = -(x+3)$ и $|1 - x| = 1 - x$.
$y = -(x+3) + (1-x) = -x - 3 + 1 - x = -2x - 2$.

2. При $-3 \le x < 1$: $|x + 3| = x+3$ и $|1 - x| = 1 - x$.
$y = (x+3) + (1-x) = x + 3 + 1 - x = 4$.

3. При $x \ge 1$: $|x + 3| = x+3$ и $|1 - x| = -(1-x) = x-1$.
$y = (x+3) + (x-1) = x + 3 + x - 1 = 2x + 2$.

Итак, функция является кусочно-линейной: $y = \begin{cases} -2x - 2, & \text{если } x < -3 \\ 4, & \text{если } -3 \le x < 1 \\ 2x + 2, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$
График состоит из трех частей: луча, отрезка горизонтальной прямой и еще одного луча. Он имеет форму "корыта".

Область определения: Функция определена для любых действительных значений $x$.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений: На интервале $(-\infty; -3)$ функция убывает до $y(-3) = -2(-3) - 2 = 4$. На интервале $[-3; 1)$ функция постоянна и равна 4. На интервале $[1; +\infty)$ функция возрастает от $y(1) = 2(1) + 2 = 4$. Таким образом, минимальное значение функции равно 4.
$E(y) = [4; +\infty)$.

Промежутки монотонности:
- На промежутке $(-\infty; -3]$ функция убывает ($y = -2x-2$).
- На промежутке $[-3; 1]$ функция постоянна ($y=4$).
- На промежутке $[1; +\infty)$ функция возрастает ($y = 2x+2$).

Нули функции: Так как минимальное значение функции равно 4, то $y$ никогда не обращается в ноль.
Нулей нет.

Ответ:
Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Множество значений: $E(y) = [4; +\infty)$.
Промежутки монотонности: убывает на $(-\infty; -3]$, постоянна на $[-3; 1]$, возрастает на $[1; +\infty)$.
Нули функции: нет.

в) $y = 2 - |1 - x|$

Для построения графика используем преобразования. Заметим, что $|1 - x| = |x - 1|$.
1. Строим график $y = |x|$.
2. Сдвигаем его на 1 единицу вправо: $y = |x - 1|$.
3. Отражаем симметрично относительно оси Ox: $y = -|x - 1|$.
4. Сдвигаем на 2 единицы вверх: $y = 2 - |x - 1|$.
График представляет собой перевернутую "галочку" с вершиной в точке $(1, 2)$.

Раскроем модуль: $y = \begin{cases} 2 - (1 - x), & \text{если } 1 - x \ge 0 \implies x \le 1 \\ 2 - (-(1 - x)), & \text{если } 1 - x < 0 \implies x > 1 \end{cases} = \begin{cases} x + 1, & \text{если } x \le 1 \\ 3 - x, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

Область определения: Функция определена для любых действительных значений $x$.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений: Вершина графика находится в точке $(1, 2)$, и ветви направлены вниз. Следовательно, максимальное значение функции равно 2.
$E(y) = (-\infty; 2]$.

Промежутки монотонности:
- На промежутке $(-\infty; 1]$ функция имеет вид $y = x + 1$, она возрастает.
- На промежутке $[1; +\infty)$ функция имеет вид $y = 3 - x$, она убывает.
Функция возрастает при $x \in (-\infty; 1]$.
Функция убывает при $x \in [1; +\infty)$.

Нули функции: Решим уравнение $y = 0$.
$2 - |1 - x| = 0$
$|1 - x| = 2$
$1 - x = 2$ или $1 - x = -2$
$x = -1$ или $x = 3$

Ответ:
Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Множество значений: $E(y) = (-\infty; 2]$.
Промежутки монотонности: возрастает на $(-\infty; 1]$, убывает на $[1; +\infty)$.
Нули функции: $x = -1, x = 3$.

г) $y = |x + 3| - |1 - x|$

Для построения графика раскроем модули. Точки смены знака подмодульных выражений: $x = -3$ и $x = 1$.

1. При $x < -3$: $|x + 3| = -(x+3)$ и $|1 - x| = 1 - x$.
$y = -(x+3) - (1-x) = -x - 3 - 1 + x = -4$.

2. При $-3 \le x < 1$: $|x + 3| = x+3$ и $|1 - x| = 1 - x$.
$y = (x+3) - (1-x) = x + 3 - 1 + x = 2x + 2$.

3. При $x \ge 1$: $|x + 3| = x+3$ и $|1 - x| = -(1-x) = x-1$.
$y = (x+3) - (x-1) = x + 3 - x + 1 = 4$.

Итак, функция является кусочно-линейной: $y = \begin{cases} -4, & \text{если } x < -3 \\ 2x + 2, & \text{если } -3 \le x < 1 \\ 4, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$
График состоит из горизонтального луча, наклонного отрезка и еще одного горизонтального луча.

Область определения: Функция определена для любых действительных значений $x$.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений: На интервале $(-\infty; -3)$ функция равна -4. На отрезке $[-3; 1]$ функция $y = 2x+2$ возрастает от $y(-3) = 2(-3)+2 = -4$ до $y(1) = 2(1)+2 = 4$. На интервале $[1; +\infty)$ функция равна 4. Объединяя значения, получаем отрезок.
$E(y) = [-4; 4]$.

Промежутки монотонности:
- На промежутке $(-\infty; -3]$ функция постоянна ($y = -4$).
- На промежутке $[-3; 1]$ функция возрастает ($y = 2x+2$).
- На промежутке $[1; +\infty)$ функция постоянна ($y = 4$).

Нули функции: Решим уравнение $y = 0$. Это возможно только на промежутке возрастания.
$2x + 2 = 0$
$2x = -2$
$x = -1$
Значение $x = -1$ принадлежит отрезку $[-3; 1]$, значит, это корень.

Ответ:
Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Множество значений: $E(y) = [-4; 4]$.
Промежутки монотонности: постоянна на $(-\infty; -3]$, возрастает на $[-3; 1]$, постоянна на $[1; +\infty)$.
Нули функции: $x = -1$.