Номер 7.62, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.62. Постройте график уравнения:

а) $|x + 2y| = 4;$

б) $|x| + 2y = 4;$

в) $x + 2|y| = 4;$

г) $|x| + 2|y| = 4.$

а) Уравнение $|x + 2y| = 4$ по определению модуля равносильно совокупности двух уравнений:

$x + 2y = 4$ или $x + 2y = -4$.

Графиком каждого из этих уравнений является прямая линия. Построим каждую из них.

1) Прямая $x + 2y = 4$. Выразим $y$ через $x$, чтобы получить уравнение в виде $y = kx + b$:

$2y = -x + 4$

$y = -0.5x + 2$

Для построения прямой найдем две точки, принадлежащие ей. Например, точки пересечения с осями координат:

• Если $x=0$, то $y=2$. Точка $(0, 2)$.
• Если $y=0$, то $0 = -0.5x + 2$, откуда $x=4$. Точка $(4, 0)$.

2) Прямая $x + 2y = -4$. Аналогично выразим $y$ через $x$:

$2y = -x - 4$

$y = -0.5x - 2$

Найдем две точки для этой прямой:

• Если $x=0$, то $y=-2$. Точка $(0, -2)$.
• Если $y=0$, то $0 = -0.5x - 2$, откуда $x=-4$. Точка $(-4, 0)$.

Угловые коэффициенты обеих прямых равны $-0.5$, что означает, что прямые параллельны.

Ответ: Графиком уравнения является пара параллельных прямых, заданных уравнениями $y = -0.5x + 2$ и $y = -0.5x - 2$.

б) В уравнении $|x| + 2y = 4$ модуль применяется только к переменной $x$. Для построения графика рассмотрим два случая в зависимости от знака $x$.

1) Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид:

$x + 2y = 4$ или $y = -0.5x + 2$.

Графиком является та часть прямой $y = -0.5x + 2$, которая находится в правой полуплоскости (включая ось OY). Это луч, начинающийся в точке $(0, 2)$ и проходящий через точку $(4, 0)$.

2) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:

$-x + 2y = 4$ или $y = 0.5x + 2$.

Графиком является та часть прямой $y = 0.5x + 2$, которая находится в левой полуплоскости. Это луч, также начинающийся в точке $(0, 2)$ и проходящий через точку $(-4, 0)$.

Объединяя оба случая, получаем график, который состоит из двух лучей, выходящих из общей вершины $(0, 2)$.

Ответ: График представляет собой два луча, исходящих из точки $(0, 2)$. Один луч проходит через точку $(4, 0)$, а другой — через точку $(-4, 0)$.

в) В уравнении $x + 2|y| = 4$ модуль применяется только к переменной $y$. Для построения графика рассмотрим два случая в зависимости от знака $y$.

1) Если $y \ge 0$, то $|y| = y$. Уравнение принимает вид:

$x + 2y = 4$ или $y = -0.5x + 2$.

Графиком является та часть прямой $y = -0.5x + 2$, которая находится в верхней полуплоскости (включая ось OX). Это луч, начинающийся в точке $(4, 0)$ и проходящий через точку $(0, 2)$. Условие $y \ge 0$ означает $-0.5x + 2 \ge 0$, то есть $x \le 4$.

2) Если $y < 0$, то $|y| = -y$. Уравнение принимает вид:

$x - 2y = 4$ или $y = 0.5x - 2$.

Графиком является та часть прямой $y = 0.5x - 2$, которая находится в нижней полуплоскости. Это луч, также начинающийся в точке $(4, 0)$ и проходящий через точку $(0, -2)$. Условие $y < 0$ означает $0.5x - 2 < 0$, то есть $x < 4$.

Объединяя оба случая, получаем график, который состоит из двух лучей, выходящих из общей вершины $(4, 0)$.

Ответ: График представляет собой два луча, исходящих из точки $(4, 0)$. Один луч проходит через точку $(0, 2)$, а другой — через точку $(0, -2)$.

г) В уравнении $|x| + 2|y| = 4$ обе переменные находятся под знаком модуля. Это означает, что график симметричен относительно обеих координатных осей (OX и OY) и начала координат. Поэтому достаточно построить часть графика в первой координатной четверти, где $x \ge 0$ и $y \ge 0$, а затем симметрично отразить ее в остальные четверти.

В первой четверти ($x \ge 0, y \ge 0$) уравнение принимает вид:

$x + 2y = 4$.

Это отрезок прямой. Найдем его концы, которые лежат на осях координат:

• При $x=0$, $y=2$. Точка $(0, 2)$.
• При $y=0$, $x=4$. Точка $(4, 0)$.

Таким образом, в первой четверти график — это отрезок, соединяющий точки $(4, 0)$ и $(0, 2)$.

Отражая этот отрезок симметрично относительно оси OY, получаем отрезок, соединяющий точки $(-4, 0)$ и $(0, 2)$.

Отражая исходный отрезок симметрично относительно оси OX, получаем отрезок, соединяющий точки $(4, 0)$ и $(0, -2)$.

Отражая отрезок из второй четверти относительно оси OX (или отрезок из четвертой четверти относительно OY), получаем отрезок, соединяющий точки $(-4, 0)$ и $(0, -2)$.

В итоге, четыре отрезка образуют замкнутую фигуру — ромб с вершинами в точках $(4, 0)$, $(0, 2)$, $(-4, 0)$ и $(0, -2)$.

Ответ: Графиком уравнения является ромб с вершинами в точках $(4, 0)$, $(0, 2)$, $(-4, 0)$ и $(0, -2)$.