Номер 7.60, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.60. Найдите наименьшее значение функции:

а) $y = 2 + |x + 5|$;

б) $y = |x - 2| + |x + 5|$;

в) $y = |x - 2| - |x + 5|$;

г) $y = |x - 2| \cdot |x + 5|$.

а) Для функции $y = 2 + |x + 5|$.

Выражение с модулем $|x + 5|$ всегда неотрицательно, то есть $|x + 5| \ge 0$ для любого значения $x$. Наименьшее значение модуля равно 0. Это значение достигается, когда выражение под модулем равно нулю: $x + 5 = 0$, что означает $x = -5$.

Чтобы найти наименьшее значение функции $y$, подставим наименьшее значение модуля в исходное уравнение: $y_{min} = 2 + 0 = 2$.

Ответ: 2

б) Для функции $y = |x - 2| + |x + 5|$.

Эту функцию можно интерпретировать как сумму расстояний от точки $x$ на числовой прямой до точек 2 и -5. Сумма расстояний до двух фиксированных точек минимальна, когда точка $x$ находится между ними. В этом случае сумма расстояний равна расстоянию между этими двумя точками.

Расстояние между точками 2 и -5 равно $|2 - (-5)| = |2 + 5| = 7$. Таким образом, при $-5 \le x \le 2$ значение функции постоянно и равно 7. Если $x$ находится вне этого отрезка, сумма расстояний будет больше 7. Следовательно, наименьшее значение функции равно 7.

Можно также решить задачу, раскрыв модули. Точки, в которых выражения под модулями обращаются в ноль: $x=2$ и $x=-5$. Рассматриваем три интервала:

• При $x < -5$: $y = -(x-2) - (x+5) = -2x-3$. Функция убывает.
• При $-5 \le x \le 2$: $y = -(x-2) + (x+5) = -x+2+x+5 = 7$. Функция постоянна.
• При $x > 2$: $y = (x-2) + (x+5) = 2x+3$. Функция возрастает.

Из анализа интервалов видно, что наименьшее значение функции достигается на отрезке $[-5, 2]$ и равно 7.

Ответ: 7

в) Для функции $y = |x - 2| - |x + 5|$.

Раскроем модули, рассмотрев те же интервалы, что и в предыдущем пункте:

• При $x < -5$: $y = -(x-2) - (-(x+5)) = -x+2+x+5 = 7$.
• При $-5 \le x \le 2$: $y = -(x-2) - (x+5) = -x+2-x-5 = -2x-3$. На этом отрезке функция линейно убывает. При $x=-5$, $y = -2(-5)-3=7$. При $x=2$, $y = -2(2)-3=-7$.
• При $x > 2$: $y = (x-2) - (x+5) = x-2-x-5 = -7$.

Таким образом, функция сначала постоянна и равна 7, затем убывает от 7 до -7, и после этого снова становится постоянной, равной -7. Наименьшее значение, которое принимает функция, равно -7.

Ответ: -7

г) Для функции $y = |x - 2| \cdot |x + 5|$.

Используя свойство модуля $|a| \cdot |b| = |a \cdot b|$, мы можем переписать функцию в виде: $y = |(x-2)(x+5)| = |x^2 + 3x - 10|$.

Значение модуля всегда неотрицательно, то есть $y \ge 0$. Наименьшее возможное значение для $y$ — это 0. Это значение будет достигнуто, если выражение внутри модуля равно нулю: $x^2 + 3x - 10 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Его корни можно найти, разложив на множители: $(x-2)(x+5) = 0$. Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -5$. При этих значениях $x$ функция $y$ обращается в ноль. Поскольку $y$ не может быть отрицательной, 0 является её наименьшим значением.

Ответ: 0