Номер 7.56, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Пусть $|x - 1| = 5$. Найдите все возможные значения выражения $\sqrt{\frac{2|x + 4|}{x^2 - x - 10}}$.

б) Пусть $|x - 1| < 5$. Найдите все возможные значения выражения $\sqrt{\frac{x^2 - 2x + 5}{29}}$.

а)

Сначала решим уравнение $|x - 1| = 5$. Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$x - 1 = 5$ или $x - 1 = -5$

Из первого уравнения получаем $x = 5 + 1 = 6$.

Из второго уравнения получаем $x = -5 + 1 = -4$.

Таким образом, у нас есть два возможных значения для $x$: 6 и -4. Теперь подставим каждое из этих значений в данное выражение $\sqrt{\frac{2|x+4|}{x^2 - x - 10}}$ и найдем его значения.

1. При $x = 6$:

$\sqrt{\frac{2|6+4|}{6^2 - 6 - 10}} = \sqrt{\frac{2|10|}{36 - 6 - 10}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 10}{20}} = \sqrt{\frac{20}{20}} = \sqrt{1} = 1$.

2. При $x = -4$:

$\sqrt{\frac{2|-4+4|}{(-4)^2 - (-4) - 10}} = \sqrt{\frac{2|0|}{16 + 4 - 10}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 0}{10}} = \sqrt{\frac{0}{10}} = \sqrt{0} = 0$.

Таким образом, возможные значения выражения - это 1 и 0.

Ответ: 0; 1.

б)

Сначала решим неравенство $|x - 1| < 5$. Это неравенство равносильно двойному неравенству:

$-5 < x - 1 < 5$

Прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$-5 + 1 < x < 5 + 1$

$-4 < x < 6$

Итак, $x$ принадлежит интервалу $(-4, 6)$. Нам нужно найти все возможные значения выражения $\sqrt{\frac{x^2 - 2x + 5}{29}}$ на этом интервале.

Рассмотрим подкоренное выражение $f(x) = x^2 - 2x + 5$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями вверх. Найдем ее наименьшее значение, выделив полный квадрат:

$x^2 - 2x + 5 = (x^2 - 2x + 1) + 4 = (x-1)^2 + 4$.

Наименьшее значение этой функции достигается в вершине параболы при $x = 1$. Это значение равно $f(1) = (1-1)^2 + 4 = 4$. Так как точка $x = 1$ принадлежит интервалу $(-4, 6)$, то наименьшее значение числителя на этом интервале равно 4.

Найдем наибольшее значение числителя на интервале $(-4, 6)$. Так как вершина параболы находится в точке $x=1$, наибольшее значение будет достигаться на том конце интервала, который дальше отстоит от вершины. Расстояния от вершины до концов интервала равны:

$|1 - (-4)| = 5$

$|6 - 1| = 5$

Расстояния одинаковы, поэтому значения на концах интервала будут равны:
$f(-4) = (-4-1)^2 + 4 = (-5)^2 + 4 = 25 + 4 = 29$.
$f(6) = (6-1)^2 + 4 = 5^2 + 4 = 25 + 4 = 29$.

Поскольку интервал $(-4, 6)$ является открытым, функция $f(x)$ не достигает значения 29, а только стремится к нему. Таким образом, для $x \in (-4, 6)$ значения числителя $x^2 - 2x + 5$ находятся в полуинтервале $[4, 29)$.

$4 \le x^2 - 2x + 5 < 29$

Теперь найдем значения всего выражения $\sqrt{\frac{x^2 - 2x + 5}{29}}$:

$\frac{4}{29} \le \frac{x^2 - 2x + 5}{29} < \frac{29}{29}$

$\frac{4}{29} \le \frac{x^2 - 2x + 5}{29} < 1$

Так как функция квадратного корня является возрастающей, мы можем извлечь корень из всех частей неравенства:

$\sqrt{\frac{4}{29}} \le \sqrt{\frac{x^2 - 2x + 5}{29}} < \sqrt{1}$

$\frac{2}{\sqrt{29}} \le \sqrt{\frac{x^2 - 2x + 5}{29}} < 1$

Следовательно, все возможные значения выражения принадлежат полуинтервалу $[\frac{2}{\sqrt{29}}, 1)$.

Ответ: $[\frac{2}{\sqrt{29}}, 1)$.