Номер 7.58, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.58. a) $y = |x - 5| \cdot (x + 3)$;

б) $y = |x + 3| \cdot |1 - x|.$

а) $y = |x - 5| \cdot (x + 3)$

Для решения этой задачи необходимо раскрыть модуль $|x - 5|$. По определению абсолютного значения:
$|a| = a$, если $a \ge 0$.
$|a| = -a$, если $a < 0$.

Применим это определение к $|x - 5|$. Рассмотрим два случая в зависимости от знака выражения под модулем:

1. При $x - 5 \ge 0$ (то есть, при $x \ge 5$), модуль $|x - 5|$ раскрывается как $x - 5$.
Функция принимает вид:
$y = (x - 5)(x + 3) = x^2 + 3x - 5x - 15 = x^2 - 2x - 15$.

2. При $x - 5 < 0$ (то есть, при $x < 5$), модуль $|x - 5|$ раскрывается как $-(x - 5) = 5 - x$.
Функция принимает вид:
$y = -(x - 5)(x + 3) = (5 - x)(x + 3) = 5x + 15 - x^2 - 3x = -x^2 + 2x + 15$.

Объединив оба случая, мы получаем кусочно-заданную функцию.

Ответ: $y = \begin{cases} x^2 - 2x - 15, & \text{при } x \ge 5 \\ -x^2 + 2x + 15, & \text{при } x < 5 \end{cases}$

б) $y = |x + 3| \cdot |1 - x|$

Воспользуемся свойством модуля $|a| \cdot |b| = |a \cdot b|$, чтобы упростить данное выражение:
$y = |(x + 3)(1 - x)|$

Теперь раскроем скобки внутри знака модуля:
$(x + 3)(1 - x) = x - x^2 + 3 - 3x = -x^2 - 2x + 3$.
Таким образом, функция принимает вид: $y = |-x^2 - 2x + 3|$.

Чтобы раскрыть оставшийся модуль, необходимо определить, на каких интервалах подмодульное выражение $-x^2 - 2x + 3$ является неотрицательным, а на каких — отрицательным. Для этого найдем его корни, решив уравнение:
$-x^2 - 2x + 3 = 0$
$x^2 + 2x - 3 = 0$
Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, находим корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$.

График функции $f(x) = -x^2 - 2x + 3$ — это парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, выражение неотрицательно ($f(x) \ge 0$) на отрезке между корнями и отрицательно ($f(x) < 0$) за его пределами.
1. При $-3 \le x \le 1$, выражение $-x^2 - 2x + 3 \ge 0$, и модуль раскрывается со знаком «плюс»:
$y = -x^2 - 2x + 3$.
2. При $x < -3$ или $x > 1$, выражение $-x^2 - 2x + 3 < 0$, и модуль раскрывается со знаком «минус»:
$y = -(-x^2 - 2x + 3) = x^2 + 2x - 3$.

Объединив оба случая, мы получаем кусочно-заданную функцию.

Ответ: $y = \begin{cases} -x^2 - 2x + 3, & \text{при } -3 \le x \le 1 \\ x^2 + 2x - 3, & \text{при } x < -3 \text{ или } x > 1 \end{cases}$