Номер 7.63, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.63. Пусть $\alpha \in [-4; 0]$. Найдите отрезок наименьшей длины, содержащий все числа вида:

а) $1 + 2\alpha^2$;

б) $5\alpha + \alpha^2$;

в) $5\alpha^3$;

г) $\frac{2\alpha + 1}{3\alpha - 1}$.

а) Рассмотрим функцию $f(\alpha) = 1 + 2\alpha^2$ на отрезке $\alpha \in [-4; 0]$. Эта функция является квадратичной, ее график — парабола с ветвями, направленными вверх. Координата вершины параболы находится в точке $\alpha = 0$. Поскольку вершина является точкой минимума для данной параболы, а точка $\alpha=0$ принадлежит заданному отрезку, наименьшее значение функции на этом отрезке достигается именно в этой точке: $f_{min} = f(0) = 1 + 2 \cdot 0^2 = 1$. Наибольшее значение функции на отрезке $[-4; 0]$ достигается в точке, наиболее удаленной от вершины, то есть при $\alpha = -4$: $f_{max} = f(-4) = 1 + 2(-4)^2 = 1 + 2 \cdot 16 = 33$. Следовательно, множество всех значений, которые принимает выражение, представляет собой отрезок от минимального до максимального значения.
Ответ: $[1; 33]$.

б) Рассмотрим функцию $f(\alpha) = 5\alpha + \alpha^2$ на отрезке $\alpha \in [-4; 0]$. Перепишем функцию в стандартном виде: $f(\alpha) = \alpha^2 + 5\alpha$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх. Найдем координату вершины параболы: $\alpha_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{5}{2 \cdot 1} = -2.5$. Точка $\alpha = -2.5$ принадлежит отрезку $[-4; 0]$. Так как ветви параболы направлены вверх, в этой точке функция достигает своего наименьшего значения: $f_{min} = f(-2.5) = (-2.5)^2 + 5(-2.5) = 6.25 - 12.5 = -6.25$. Наибольшее значение будет достигаться на одном из концов отрезка. Сравним значения функции в точках $\alpha = -4$ и $\alpha = 0$: $f(-4) = (-4)^2 + 5(-4) = 16 - 20 = -4$. $f(0) = 0^2 + 5(0) = 0$. Наибольшее из этих значений равно 0. Таким образом, все значения выражения лежат на отрезке от -6.25 до 0.
Ответ: $[-6.25; 0]$.

в) Рассмотрим функцию $f(\alpha) = 5\alpha^3$ на отрезке $\alpha \in [-4; 0]$. Функция $y = x^3$ является монотонно возрастающей на всей числовой прямой. Умножение на положительную константу 5 сохраняет монотонность, поэтому функция $f(\alpha) = 5\alpha^3$ также монотонно возрастает. Для монотонно возрастающей функции на отрезке наименьшее значение достигается на левом конце, а наибольшее — на правом. Найдем наименьшее значение при $\alpha = -4$: $f_{min} = f(-4) = 5(-4)^3 = 5(-64) = -320$. Найдем наибольшее значение при $\alpha = 0$: $f_{max} = f(0) = 5(0)^3 = 0$. Множество значений функции — это отрезок от -320 до 0.
Ответ: $[-320; 0]$.

г) Рассмотрим функцию $f(\alpha) = \frac{2\alpha + 1}{3\alpha - 1}$ на отрезке $\alpha \in [-4; 0]$. Это дробно-линейная функция. Она не определена, когда знаменатель равен нулю: $3\alpha - 1 = 0$, то есть при $\alpha = \frac{1}{3}$. Эта точка не входит в отрезок $[-4; 0]$, поэтому функция непрерывна на данном отрезке. Для определения характера монотонности функции найдем ее производную: $f'(\alpha) = \left(\frac{2\alpha + 1}{3\alpha - 1}\right)' = \frac{(2\alpha + 1)'(3\alpha - 1) - (2\alpha + 1)(3\alpha - 1)'}{(3\alpha - 1)^2}$ $f'(\alpha) = \frac{2(3\alpha - 1) - (2\alpha + 1) \cdot 3}{(3\alpha - 1)^2} = \frac{6\alpha - 2 - 6\alpha - 3}{(3\alpha - 1)^2} = \frac{-5}{(3\alpha - 1)^2}$. Поскольку знаменатель $(3\alpha - 1)^2$ всегда положителен (на рассматриваемом отрезке), а числитель равен -5, то $f'(\alpha) < 0$ для всех $\alpha$ из области определения. Следовательно, функция монотонно убывает на отрезке $[-4; 0]$. Для монотонно убывающей функции наименьшее значение достигается на правом конце отрезка, а наибольшее — на левом. Наибольшее значение при $\alpha = -4$: $f_{max} = f(-4) = \frac{2(-4) + 1}{3(-4) - 1} = \frac{-7}{-13} = \frac{7}{13}$. Наименьшее значение при $\alpha = 0$: $f_{min} = f(0) = \frac{2(0) + 1}{3(0) - 1} = \frac{1}{-1} = -1$. Искомый отрезок — это отрезок от наименьшего до наибольшего значения.
Ответ: $[-1; \frac{7}{13}]$.