Страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

7.62. Постройте график уравнения:

а) $|x + 2y| = 4;$

б) $|x| + 2y = 4;$

в) $x + 2|y| = 4;$

г) $|x| + 2|y| = 4.$

а) Уравнение $|x + 2y| = 4$ по определению модуля равносильно совокупности двух уравнений:

$x + 2y = 4$ или $x + 2y = -4$.

Графиком каждого из этих уравнений является прямая линия. Построим каждую из них.

1) Прямая $x + 2y = 4$. Выразим $y$ через $x$, чтобы получить уравнение в виде $y = kx + b$:

$2y = -x + 4$

$y = -0.5x + 2$

Для построения прямой найдем две точки, принадлежащие ей. Например, точки пересечения с осями координат:

• Если $x=0$, то $y=2$. Точка $(0, 2)$.
• Если $y=0$, то $0 = -0.5x + 2$, откуда $x=4$. Точка $(4, 0)$.

2) Прямая $x + 2y = -4$. Аналогично выразим $y$ через $x$:

$2y = -x - 4$

$y = -0.5x - 2$

Найдем две точки для этой прямой:

• Если $x=0$, то $y=-2$. Точка $(0, -2)$.
• Если $y=0$, то $0 = -0.5x - 2$, откуда $x=-4$. Точка $(-4, 0)$.

Угловые коэффициенты обеих прямых равны $-0.5$, что означает, что прямые параллельны.

Ответ: Графиком уравнения является пара параллельных прямых, заданных уравнениями $y = -0.5x + 2$ и $y = -0.5x - 2$.

б) В уравнении $|x| + 2y = 4$ модуль применяется только к переменной $x$. Для построения графика рассмотрим два случая в зависимости от знака $x$.

1) Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид:

$x + 2y = 4$ или $y = -0.5x + 2$.

Графиком является та часть прямой $y = -0.5x + 2$, которая находится в правой полуплоскости (включая ось OY). Это луч, начинающийся в точке $(0, 2)$ и проходящий через точку $(4, 0)$.

2) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:

$-x + 2y = 4$ или $y = 0.5x + 2$.

Графиком является та часть прямой $y = 0.5x + 2$, которая находится в левой полуплоскости. Это луч, также начинающийся в точке $(0, 2)$ и проходящий через точку $(-4, 0)$.

Объединяя оба случая, получаем график, который состоит из двух лучей, выходящих из общей вершины $(0, 2)$.

Ответ: График представляет собой два луча, исходящих из точки $(0, 2)$. Один луч проходит через точку $(4, 0)$, а другой — через точку $(-4, 0)$.

в) В уравнении $x + 2|y| = 4$ модуль применяется только к переменной $y$. Для построения графика рассмотрим два случая в зависимости от знака $y$.

1) Если $y \ge 0$, то $|y| = y$. Уравнение принимает вид:

$x + 2y = 4$ или $y = -0.5x + 2$.

Графиком является та часть прямой $y = -0.5x + 2$, которая находится в верхней полуплоскости (включая ось OX). Это луч, начинающийся в точке $(4, 0)$ и проходящий через точку $(0, 2)$. Условие $y \ge 0$ означает $-0.5x + 2 \ge 0$, то есть $x \le 4$.

2) Если $y < 0$, то $|y| = -y$. Уравнение принимает вид:

$x - 2y = 4$ или $y = 0.5x - 2$.

Графиком является та часть прямой $y = 0.5x - 2$, которая находится в нижней полуплоскости. Это луч, также начинающийся в точке $(4, 0)$ и проходящий через точку $(0, -2)$. Условие $y < 0$ означает $0.5x - 2 < 0$, то есть $x < 4$.

Объединяя оба случая, получаем график, который состоит из двух лучей, выходящих из общей вершины $(4, 0)$.

Ответ: График представляет собой два луча, исходящих из точки $(4, 0)$. Один луч проходит через точку $(0, 2)$, а другой — через точку $(0, -2)$.

г) В уравнении $|x| + 2|y| = 4$ обе переменные находятся под знаком модуля. Это означает, что график симметричен относительно обеих координатных осей (OX и OY) и начала координат. Поэтому достаточно построить часть графика в первой координатной четверти, где $x \ge 0$ и $y \ge 0$, а затем симметрично отразить ее в остальные четверти.

В первой четверти ($x \ge 0, y \ge 0$) уравнение принимает вид:

$x + 2y = 4$.

Это отрезок прямой. Найдем его концы, которые лежат на осях координат:

• При $x=0$, $y=2$. Точка $(0, 2)$.
• При $y=0$, $x=4$. Точка $(4, 0)$.

Таким образом, в первой четверти график — это отрезок, соединяющий точки $(4, 0)$ и $(0, 2)$.

Отражая этот отрезок симметрично относительно оси OY, получаем отрезок, соединяющий точки $(-4, 0)$ и $(0, 2)$.

Отражая исходный отрезок симметрично относительно оси OX, получаем отрезок, соединяющий точки $(4, 0)$ и $(0, -2)$.

Отражая отрезок из второй четверти относительно оси OX (или отрезок из четвертой четверти относительно OY), получаем отрезок, соединяющий точки $(-4, 0)$ и $(0, -2)$.

В итоге, четыре отрезка образуют замкнутую фигуру — ромб с вершинами в точках $(4, 0)$, $(0, 2)$, $(-4, 0)$ и $(0, -2)$.

Ответ: Графиком уравнения является ромб с вершинами в точках $(4, 0)$, $(0, 2)$, $(-4, 0)$ и $(0, -2)$.

7.63. Пусть $\alpha \in [-4; 0]$. Найдите отрезок наименьшей длины, содержащий все числа вида:

а) $1 + 2\alpha^2$;

б) $5\alpha + \alpha^2$;

в) $5\alpha^3$;

г) $\frac{2\alpha + 1}{3\alpha - 1}$.

а) Рассмотрим функцию $f(\alpha) = 1 + 2\alpha^2$ на отрезке $\alpha \in [-4; 0]$. Эта функция является квадратичной, ее график — парабола с ветвями, направленными вверх. Координата вершины параболы находится в точке $\alpha = 0$. Поскольку вершина является точкой минимума для данной параболы, а точка $\alpha=0$ принадлежит заданному отрезку, наименьшее значение функции на этом отрезке достигается именно в этой точке: $f_{min} = f(0) = 1 + 2 \cdot 0^2 = 1$. Наибольшее значение функции на отрезке $[-4; 0]$ достигается в точке, наиболее удаленной от вершины, то есть при $\alpha = -4$: $f_{max} = f(-4) = 1 + 2(-4)^2 = 1 + 2 \cdot 16 = 33$. Следовательно, множество всех значений, которые принимает выражение, представляет собой отрезок от минимального до максимального значения.
Ответ: $[1; 33]$.

б) Рассмотрим функцию $f(\alpha) = 5\alpha + \alpha^2$ на отрезке $\alpha \in [-4; 0]$. Перепишем функцию в стандартном виде: $f(\alpha) = \alpha^2 + 5\alpha$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх. Найдем координату вершины параболы: $\alpha_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{5}{2 \cdot 1} = -2.5$. Точка $\alpha = -2.5$ принадлежит отрезку $[-4; 0]$. Так как ветви параболы направлены вверх, в этой точке функция достигает своего наименьшего значения: $f_{min} = f(-2.5) = (-2.5)^2 + 5(-2.5) = 6.25 - 12.5 = -6.25$. Наибольшее значение будет достигаться на одном из концов отрезка. Сравним значения функции в точках $\alpha = -4$ и $\alpha = 0$: $f(-4) = (-4)^2 + 5(-4) = 16 - 20 = -4$. $f(0) = 0^2 + 5(0) = 0$. Наибольшее из этих значений равно 0. Таким образом, все значения выражения лежат на отрезке от -6.25 до 0.
Ответ: $[-6.25; 0]$.

в) Рассмотрим функцию $f(\alpha) = 5\alpha^3$ на отрезке $\alpha \in [-4; 0]$. Функция $y = x^3$ является монотонно возрастающей на всей числовой прямой. Умножение на положительную константу 5 сохраняет монотонность, поэтому функция $f(\alpha) = 5\alpha^3$ также монотонно возрастает. Для монотонно возрастающей функции на отрезке наименьшее значение достигается на левом конце, а наибольшее — на правом. Найдем наименьшее значение при $\alpha = -4$: $f_{min} = f(-4) = 5(-4)^3 = 5(-64) = -320$. Найдем наибольшее значение при $\alpha = 0$: $f_{max} = f(0) = 5(0)^3 = 0$. Множество значений функции — это отрезок от -320 до 0.
Ответ: $[-320; 0]$.

г) Рассмотрим функцию $f(\alpha) = \frac{2\alpha + 1}{3\alpha - 1}$ на отрезке $\alpha \in [-4; 0]$. Это дробно-линейная функция. Она не определена, когда знаменатель равен нулю: $3\alpha - 1 = 0$, то есть при $\alpha = \frac{1}{3}$. Эта точка не входит в отрезок $[-4; 0]$, поэтому функция непрерывна на данном отрезке. Для определения характера монотонности функции найдем ее производную: $f'(\alpha) = \left(\frac{2\alpha + 1}{3\alpha - 1}\right)' = \frac{(2\alpha + 1)'(3\alpha - 1) - (2\alpha + 1)(3\alpha - 1)'}{(3\alpha - 1)^2}$ $f'(\alpha) = \frac{2(3\alpha - 1) - (2\alpha + 1) \cdot 3}{(3\alpha - 1)^2} = \frac{6\alpha - 2 - 6\alpha - 3}{(3\alpha - 1)^2} = \frac{-5}{(3\alpha - 1)^2}$. Поскольку знаменатель $(3\alpha - 1)^2$ всегда положителен (на рассматриваемом отрезке), а числитель равен -5, то $f'(\alpha) < 0$ для всех $\alpha$ из области определения. Следовательно, функция монотонно убывает на отрезке $[-4; 0]$. Для монотонно убывающей функции наименьшее значение достигается на правом конце отрезка, а наибольшее — на левом. Наибольшее значение при $\alpha = -4$: $f_{max} = f(-4) = \frac{2(-4) + 1}{3(-4) - 1} = \frac{-7}{-13} = \frac{7}{13}$. Наименьшее значение при $\alpha = 0$: $f_{min} = f(0) = \frac{2(0) + 1}{3(0) - 1} = \frac{1}{-1} = -1$. Искомый отрезок — это отрезок от наименьшего до наибольшего значения.
Ответ: $[-1; \frac{7}{13}]$.

7.64. Целой частью действительного числа $x$ называют наибольшее целое число, не превосходящее числа $x$, и обозначают $[x]$. Найдите целую часть числа:

a) 4;

б) -3,2;

в) 4,45;

г) -3,3456.

Согласно определению, целой частью действительного числа $x$, которая обозначается как $[x]$, является наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Это означает, что для любого $x$ выполняется двойное неравенство: $[x] \le x < [x] + 1$.

а) Найдём целую часть числа 4. Число 4 само по себе является целым. Наибольшее целое число, которое не превосходит (то есть меньше или равно) 4, это само число 4. Следовательно, $[4] = 4$.
Ответ: 4

б) Найдём целую часть числа -3,2. Нам нужно найти наибольшее целое число, которое не превосходит -3,2. На числовой прямой число -3,2 находится между целыми числами -4 и -3. Целые числа, которые не превосходят -3,2, — это все целые числа, которые находятся левее или совпадают с -3,2 на числовой оси (например, -4, -5, -6, ...). Наибольшим среди этих чисел является -4. Следовательно, $[-3,2] = -4$.
Ответ: -4

в) Найдём целую часть числа 4,45. Нам нужно найти наибольшее целое число, которое не превосходит 4,45. Число 4,45 находится между целыми числами 4 и 5. Целые числа, которые не превосходят 4,45, — это 4, 3, 2, ... . Наибольшим среди этих чисел является 4. Следовательно, $[4,45] = 4$.
Ответ: 4

г) Найдём целую часть числа -3,3456. Нам нужно найти наибольшее целое число, которое не превосходит -3,3456. Аналогично пункту б), число -3,3456 находится между -4 и -3. Наибольшее целое число, которое не больше, чем -3,3456, это -4. Следовательно, $[-3,3456] = -4$.
Ответ: -4

7.65. Докажите:

а) если $[x] = k$, то для любого натурального числа $n$ верно равенство $[x + n] = k + n$;

б) если $[x] = k$, то для любого числа $y$ справедливо неравенство $[x + y] \le k + y$.

а) Дано, что $[x] = k$, где $k$ — целое число. По определению целой части числа (антье), это условие равносильно следующему двойному неравенству:$$ k \le x < k + 1 $$Нам необходимо доказать, что для любого натурального числа $n$ верно равенство $[x + n] = k + n$. Поскольку $n$ — натуральное число, оно также является целым. Прибавим число $n$ ко всем частям исходного неравенства:$$ k + n \le x + n < k + 1 + n $$Перегруппируем слагаемые в правой части неравенства для наглядности:$$ k + n \le x + n < (k + n) + 1 $$Пусть $m = k + n$. Так как $k$ и $n$ — целые числа, их сумма $m$ также является целым числом. Тогда неравенство принимает вид:$$ m \le x + n < m + 1 $$Это неравенство является определением целой части для числа $(x+n)$. Оно показывает, что $m$ — это наибольшее целое число, не превосходящее $x+n$. Следовательно, $[x + n] = m$. Подставив обратно значение $m = k + n$, получаем искомое равенство:$$ [x + n] = k + n $$Что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.

б) Утверждение, представленное в задаче, а именно, что для $[x] = k$ и любого числа $y$ справедливо неравенство $[x + y] \le k + y$, является неверным. Чтобы это доказать, достаточно привести контрпример.
Пусть $x = 2.7$. По условию, $k = [x] = [2.7] = 2$.
В качестве числа $y$ выберем $y = 0.5$.
Вычислим левую часть неравенства:$$ [x + y] = [2.7 + 0.5] = [3.2] = 3 $$
Вычислим правую часть неравенства:$$ k + y = 2 + 0.5 = 2.5 $$
Теперь подставим вычисленные значения в исходное неравенство:$$ 3 \le 2.5 $$
Полученное неравенство является ложным. Следовательно, исходное утверждение неверно в общем случае.

Можно предположить, что в условии задачи содержится опечатка. Одно из известных свойств целой части утверждает, что $[x+y] \ge [x] + [y]$. Если бы в задаче требовалось доказать это свойство, то для $[x]=k$ оно бы приняло вид $[x+y] \ge k + [y]$. Доказательство этого верного неравенства приведено ниже.
Представим числа $x$ и $y$ в виде суммы их целой и дробной частей: $x = [x] + \{x\}$ и $y = [y] + \{y\}$, где $0 \le \{x\} < 1$ и $0 \le \{y\} < 1$ — дробные части чисел.
С учетом условия $[x]=k$, имеем $x=k+\{x\}$.
Рассмотрим целую часть суммы $x+y$:$$ [x+y] = [ (k+\{x\}) + ([y]+\{y\}) ] = [k+[y]+\{x\}+\{y\}] $$
Поскольку $k$ и $[y]$ являются целыми числами, их можно вынести за знак целой части на основании свойства, доказанного в пункте а):$$ [x+y] = k+[y] + [\{x\}+\{y\}] $$
Так как $0 \le \{x\} < 1$ и $0 \le \{y\} < 1$, их сумма удовлетворяет неравенству $0 \le \{x\}+\{y\} < 2$. Это означает, что целая часть $[\{x\}+\{y\}]$ может быть равна либо 0, либо 1. В любом из этих случаев выполняется условие $[\{x\}+\{y\}] \ge 0$.
Следовательно, мы можем заключить:$$ [x+y] = k+[y] + [\{x\}+\{y\}] \ge k+[y] + 0 = k+[y] $$
Таким образом, верное неравенство $[x+y] \ge k + [y]$ доказано.
Ответ: Исходное утверждение в пункте б) неверно. Контрпример: для $x=2.7$ ($k=2$) и $y=0.5$ неравенство $[x + y] \le k + y$ превращается в ложное неравенство $3 \le 2.5$.

Решите уравнение:

7.66. а) $ [x] = 1; $

б) $ [x] = -11; $

в) $ [x] = -1; $

г) $ [x] = 11. $

В данных уравнениях используется операция взятия целой части числа, также известная как функция «антье» или «пол» (floor function). Обозначение $[x]$ означает наибольшее целое число, не превосходящее $x$. По определению, равенство $[x] = n$, где $n$ — целое число, эквивалентно двойному неравенству $n \le x < n + 1$.

а) Решим уравнение $[x] = 1$.
Согласно определению целой части числа, если $[x] = 1$, то $x$ должен удовлетворять неравенству $1 \le x < 1 + 1$.
Таким образом, решением является множество всех чисел $x$, таких что $1 \le x < 2$.
В виде промежутка это записывается как $[1; 2)$.
Ответ: $x \in [1; 2)$.

б) Решим уравнение $[x] = -11$.
Согласно определению, если $[x] = -11$, то $x$ должен удовлетворять неравенству $-11 \le x < -11 + 1$.
Таким образом, решением является множество всех чисел $x$, таких что $-11 \le x < -10$.
В виде промежутка это записывается как $[-11; -10)$.
Ответ: $x \in [-11; -10)$.

в) Решим уравнение $[x] = -1$.
Согласно определению, если $[x] = -1$, то $x$ должен удовлетворять неравенству $-1 \le x < -1 + 1$.
Таким образом, решением является множество всех чисел $x$, таких что $-1 \le x < 0$.
В виде промежутка это записывается как $[-1; 0)$.
Ответ: $x \in [-1; 0)$.

г) Решим уравнение $[x] = 11$.
Согласно определению, если $[x] = 11$, то $x$ должен удовлетворять неравенству $11 \le x < 11 + 1$.
Таким образом, решением является множество всех чисел $x$, таких что $11 \le x < 12$.
В виде промежутка это записывается как $[11; 12)$.
Ответ: $x \in [11; 12)$.

7.67. a) $\lfloor x \rfloor = x;$

б) $\lfloor x + 5 \rfloor = 1 - x;$

В) $\lfloor x \rfloor = \frac{x}{2};$

Г) $\lfloor \frac{x + 1}{4} \rfloor = x + 2.$

а) Уравнение: $[x] = x$.
По определению, $[x]$ — это наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Следовательно, значение $[x]$ всегда является целым числом. Для того чтобы равенство $[x] = x$ было верным, переменная $x$ сама должна быть целым числом.
Таким образом, решением уравнения являются все целые числа.
Ответ: $x \in \mathbb{Z}$ (где $\mathbb{Z}$ — множество всех целых чисел).

б) Уравнение: $[x + 5] = 1 - x$.
Левая часть уравнения, $[x+5]$, по определению является целым числом. Следовательно, правая часть, $1-x$, также должна быть целым числом. Это возможно только если $x$ — целое число.
Если $x$ — целое число, то для него справедливо свойство $[x+n] = x+n$ для любого целого $n$. В нашем случае $n=5$.
Таким образом, уравнение можно переписать в виде:
$x + 5 = 1 - x$
Решим это линейное уравнение:
$2x = 1 - 5$
$2x = -4$
$x = -2$
Поскольку $x=-2$ является целым числом, наше первоначальное предположение верно, и это является решением.
Проверка: $[(-2) + 5] = [3] = 3$. $1 - (-2) = 1 + 2 = 3$. Равенство $3=3$ верно.
Ответ: $x = -2$.

в) Уравнение: $[x] = \frac{x}{2}$.
Обозначим $[x] = k$, где $k$ — целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Тогда уравнение принимает вид $k = \frac{x}{2}$, откуда $x = 2k$.
Теперь используем основное свойство целой части: $k \le x < k + 1$.
Подставим в это неравенство выражение для $x$:
$k \le 2k < k + 1$
Это двойное неравенство можно разбить на два:
1) $k \le 2k \implies 0 \le k$
2) $2k < k + 1 \implies k < 1$
Объединяя оба условия, получаем $0 \le k < 1$.
Поскольку $k$ должно быть целым числом, единственное значение, удовлетворяющее этому неравенству, — это $k=0$.
Найдем $x$, зная, что $k=0$:
$x = 2k = 2 \cdot 0 = 0$.
Проверка: $[0] = 0$ и $\frac{0}{2} = 0$. Равенство $0=0$ верно.
Ответ: $x = 0$.

г) Уравнение: $[\frac{x+1}{4}] = x+2$.
Левая часть уравнения по определению является целым числом. Следовательно, правая часть $x+2$ также должна быть целым числом. Это означает, что $x$ — целое число.
Воспользуемся определением целой части. Если $[\frac{x+1}{4}] = x+2$, то должно выполняться неравенство:
$x+2 \le \frac{x+1}{4} < (x+2)+1$
$x+2 \le \frac{x+1}{4} < x+3$
Решим это двойное неравенство, разбив его на систему из двух неравенств.
Первое неравенство:
$x+2 \le \frac{x+1}{4}$
$4(x+2) \le x+1$
$4x+8 \le x+1$
$3x \le -7$
$x \le -\frac{7}{3}$
Второе неравенство:
$\frac{x+1}{4} < x+3$
$x+1 < 4(x+3)$
$x+1 < 4x+12$
$-11 < 3x$
$x > -\frac{11}{3}$
Объединим результаты: $-\frac{11}{3} < x \le -\frac{7}{3}$.
В десятичной форме: $-3.66... < x \le -2.33...$.
Так как мы установили, что $x$ — целое число, единственное целое значение в этом интервале — это $x=-3$.
Проверка: Подставим $x=-3$ в исходное уравнение.
Левая часть: $[\frac{-3+1}{4}] = [\frac{-2}{4}] = [-0.5] = -1$.
Правая часть: $-3+2 = -1$.
Равенство $-1 = -1$ верно.
Ответ: $x = -3$.