Страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

•7.68. Постройте на координатной плоскости xOy график соотношения:

а) $[x] = [y];$

б) $[x] > [y];$

в) $[x] < [y];$

г) $[x - 1] > [y + 1].$

а) Рассмотрим соотношение $[x] = [y]$, где $[z]$ — это целая часть числа $z$ (функция «пол», наибольшее целое число, не превосходящее $z$).
Пусть $[x] = [y] = n$, где $n$ — произвольное целое число ($n \in \mathbb{Z}$).
Условие $[x] = n$ равносильно неравенству $n \le x < n+1$.
Аналогично, условие $[y] = n$ равносильно неравенству $n \le y < n+1$.
Таким образом, для каждого целого числа $n$ мы получаем множество точек $(x, y)$, которые образуют на координатной плоскости квадрат, задаваемый системой неравенств: $$ \begin{cases} n \le x < n+1 \\ n \le y < n+1 \end{cases} $$ Это единичный квадрат с вершинами в точках $(n, n), (n+1, n), (n, n+1), (n+1, n+1)$. Границы $x=n$ и $y=n$ (левая и нижняя стороны квадрата) принадлежат искомому множеству, а границы $x=n+1$ и $y=n+1$ (правая и верхняя стороны) — не принадлежат.
График исходного соотношения представляет собой объединение всех таких квадратов для всех целых значений $n$. Например, для $n=0$ это квадрат $0 \le x < 1, 0 \le y < 1$, для $n=1$ — квадрат $1 \le x < 2, 1 \le y < 2$, и так далее.

Ответ: Графиком является бесконечное множество единичных квадратов, расположенных вдоль главной диагонали $y=x$. Для каждого целого числа $n$ в это множество входит квадрат, заданный неравенствами $n \le x < n+1$ и $n \le y < n+1$. У каждого такого квадрата левая и нижняя границы принадлежат графику, а правая и верхняя — не принадлежат.

б) Рассмотрим неравенство $[x] > [y]$.
Пусть $[x] = n$ и $[y] = m$, где $n, m \in \mathbb{Z}$. Неравенство принимает вид $n > m$.
График представляет собой объединение всех единичных квадратов вида $[n, n+1) \times [m, m+1)$ для всех целых $n$ и $m$, удовлетворяющих условию $n > m$.
Проанализируем это множество иначе. Зафиксируем значение $[y] = m$. Это означает, что $m \le y < m+1$. Тогда исходное неравенство $[x] > [y]$ превращается в $[x] > m$. Поскольку $[x]$ — целое число, это равносильно $[x] \ge m+1$. В свою очередь, неравенство $[x] \ge m+1$ равносильно $x \ge m+1$.
Таким образом, для каждой горизонтальной полосы $m \le y < m+1$ (где $m$ — целое) искомое множество точек удовлетворяет условию $x \ge m+1$.
Например:
- если $0 \le y < 1$ (т.е. $m=0$), то $x \ge 1$;
- если $1 \le y < 2$ (т.е. $m=1$), то $x \ge 2$;
- если $-1 \le y < 0$ (т.е. $m=-1$), то $x \ge 0$.
Геометрически это область, лежащая справа от "ступенчатой" границы, заданной уравнением $x = [y] + 1$.

Ответ: Графиком является множество точек $(x, y)$, удовлетворяющих условию $x \ge [y] + 1$. Это область, расположенная справа от ступенчатой линии, состоящей из лучей вида $x \ge m+1$ для $y \in [m, m+1)$, где $m$ — любое целое число.

в) Рассмотрим неравенство $[x] < [y]$.
Это соотношение является дополнением к соотношениям из пунктов а) и б) на всей координатной плоскости.
Пусть $[x] = n$ и $[y] = m$, где $n, m \in \mathbb{Z}$. Неравенство принимает вид $n < m$.
Зафиксируем значение $[x] = n$. Это означает, что $n \le x < n+1$. Тогда исходное неравенство $[x] < [y]$ превращается в $n < [y]$. Поскольку $[y]$ — целое число, это равносильно $[y] \ge n+1$. В свою очередь, неравенство $[y] \ge n+1$ равносильно $y \ge n+1$.
Таким образом, для каждой вертикальной полосы $n \le x < n+1$ (где $n$ — целое) искомое множество точек удовлетворяет условию $y \ge n+1$.
Например:
- если $0 \le x < 1$ (т.е. $n=0$), то $y \ge 1$;
- если $1 \le x < 2$ (т.е. $n=1$), то $y \ge 2$;
- если $-1 \le x < 0$ (т.е. $n=-1$), то $y \ge 0$.
Геометрически это область, лежащая выше "ступенчатой" границы, заданной уравнением $y = [x] + 1$.

Ответ: Графиком является множество точек $(x, y)$, удовлетворяющих условию $y \ge [x] + 1$. Это область, расположенная выше ступенчатой линии, состоящей из лучей вида $y \ge n+1$ для $x \in [n, n+1)$, где $n$ — любое целое число.

г) Рассмотрим неравенство $[x - 1] > [y + 1]$.
Воспользуемся свойством целой части: $[z+k] = [z] + k$ для любого действительного числа $z$ и целого числа $k$.
Применим это свойство для преобразования неравенства:
$[x - 1] = [x] - 1$
$[y + 1] = [y] + 1$
Подставив эти выражения в исходное неравенство, получим:
$[x] - 1 > [y] + 1$
Прибавим 1 к обеим частям:
$[x] > [y] + 2$
Пусть $[x] = n$ и $[y] = m$, где $n, m \in \mathbb{Z}$. Неравенство примет вид $n > m + 2$, что равносильно $n \ge m+3$.
Эта задача аналогична пункту б). Зафиксируем $[y] = m$, то есть $m \le y < m+1$. Тогда условие на $x$ будет $[x] \ge m+3$, что равносильно $x \ge m+3$.
Таким образом, для каждой горизонтальной полосы $m \le y < m+1$ искомое множество точек удовлетворяет условию $x \ge m+3$.
Например:
- если $0 \le y < 1$ (т.е. $m=0$), то $x \ge 3$;
- если $-1 \le y < 0$ (т.е. $m=-1$), то $x \ge 2$.
Граница области задается уравнением $x = [y] + 3$.

Ответ: Графиком является множество точек $(x, y)$, удовлетворяющих условию $x \ge [y] + 3$. Это область, расположенная справа от ступенчатой линии, состоящей из лучей вида $x \ge m+3$ для $y \in [m, m+1)$, где $m$ — любое целое число.

7.69. Дробной частью действительного числа $x$ называют разность $x - [x]$; дробную часть числа $x$ обозначают символом $\{x\}$. Вычислите:

а) $\{2\}$;

б) $\{12,81\}$;

в) $\{1,08\}$;

г) $\{\sqrt{2}\}$.

Дробная часть действительного числа $x$, обозначаемая $\{x\}$, определяется как разность между самим числом и его целой частью: $\{x\} = x - [x]$. Целая часть $[x]$ — это наибольшее целое число, которое не превышает $x$.

а) Вычислим $\{2\}$.
В данном случае $x = 2$. Число 2 является целым. Целая часть любого целого числа равна самому этому числу. Таким образом, $[2] = 2$.
Подставляем значения в формулу:
$\{2\} = 2 - [2] = 2 - 2 = 0$.
Ответ: $0$.

б) Вычислим $\{12,81\}$.
Здесь $x = 12,81$. Целая часть этого числа — это наибольшее целое число, не превосходящее 12,81. Это число 12. Таким образом, $[12,81] = 12$.
Подставляем значения в формулу:
$\{12,81\} = 12,81 - [12,81] = 12,81 - 12 = 0,81$.
Ответ: $0,81$.

в) Вычислим $\{1,08\}$.
Здесь $x = 1,08$. Целая часть этого числа — это наибольшее целое число, не превосходящее 1,08. Это число 1. Таким образом, $[1,08] = 1$.
Подставляем значения в формулу:
$\{1,08\} = 1,08 - [1,08] = 1,08 - 1 = 0,08$.
Ответ: $0,08$.

г) Вычислим $\{\sqrt{2}\}$.
Здесь $x = \sqrt{2}$. Чтобы найти целую часть, оценим значение $\sqrt{2}$. Мы знаем, что $1^2 = 1$ и $2^2 = 4$. Так как $1 < 2 < 4$, то $\sqrt{1} < \sqrt{2} < \sqrt{4}$, что означает $1 < \sqrt{2} < 2$.
Следовательно, наибольшее целое число, не превосходящее $\sqrt{2}$, равно 1. Таким образом, $[\sqrt{2}] = 1$.
Подставляем значения в формулу:
$\{\sqrt{2}\} = \sqrt{2} - [\sqrt{2}] = \sqrt{2} - 1$.
Ответ: $\sqrt{2} - 1$.

7.70. Вычислите:

а) ${-2}$;

б) ${-12,81}$;

в) ${-1,08}$;

г) ${-\sqrt{2}}$.

а)

Дробная часть числа $x$, обозначаемая $\{x\}$, вычисляется по формуле $\{x\} = x - [x]$, где $[x]$ — это целая часть числа $x$ (наибольшее целое число, не превосходящее $x$).
Для целого числа -2 его целая часть $[-2]$ равна самому числу, то есть -2.
Следовательно, вычисление выглядит так: $\{-2\} = -2 - [-2] = -2 - (-2) = 0$.
Ответ: $0$.

б)

Сначала найдем целую часть числа -12,81. Наибольшее целое число, которое не превосходит -12,81, это -13. Таким образом, $[-12,81] = -13$.
Теперь вычислим дробную часть: $\{-12,81\} = -12,81 - [-12,81] = -12,81 - (-13) = -12,81 + 13 = 0,19$.
Ответ: $0,19$.

в)

Найдем целую часть числа -1,08. Наибольшее целое число, не превосходящее -1,08, это -2. Таким образом, $[-1,08] = -2$.
Вычисляем дробную часть: $\{-1,08\} = -1,08 - [-1,08] = -1,08 - (-2) = -1,08 + 2 = 0,92$.
Ответ: $0,92$.

г)

Найдем целую часть числа $-\sqrt{2}$. Мы знаем, что $1 < \sqrt{2} < 2$. Умножив все части неравенства на -1 и поменяв знаки, получим $-2 < -\sqrt{2} < -1$.
Отсюда следует, что наибольшее целое число, не превосходящее $-\sqrt{2}$, это -2. То есть, $[-\sqrt{2}] = -2$.
Вычисляем дробную часть: $\{-\sqrt{2}\} = -\sqrt{2} - [-\sqrt{2}] = -\sqrt{2} - (-2) = 2 - \sqrt{2}$.
Ответ: $2 - \sqrt{2}$.

7.71. Пусть $\omega \in [0; 1)$. Докажите, что для любого натурального числа $a$ верно равенство:

а) ${a + \omega} = \omega;$

б) ${a - \omega} = 1 - \omega.$

а)

По определению, дробная часть действительного числа $x$, обозначаемая как $\{x\}$, вычисляется по формуле $\{x\} = x - [x]$, где $[x]$ — это целая часть числа $x$ (наибольшее целое число, не превосходящее $x$). Нам нужно доказать, что $\{a + \omega\} = \omega$.

Применим определение дробной части к выражению $a + \omega$: $\{a + \omega\} = (a + \omega) - [a + \omega]$.

По условию, $a$ — натуральное число (то есть, $a$ — целое и $a \ge 1$), а $\omega$ удовлетворяет неравенству $0 \le \omega < 1$. Сложим $a$ со всеми частями этого неравенства: $a + 0 \le a + \omega < a + 1$, что равносильно $a \le a + \omega < a + 1$.

Так как $a$ — целое число, из неравенства $a \le a + \omega < a + 1$ следует, что целая часть числа $a + \omega$ равна $a$. То есть, $[a + \omega] = a$. Это свойство иногда формулируют как $[n + x] = n + [x]$ для целого $n$, и в нашем случае $[a + \omega] = a + [\omega] = a + 0 = a$.

Теперь подставим найденное значение целой части обратно в формулу для дробной части: $\{a + \omega\} = (a + \omega) - a = \omega$.

Равенство доказано для всех натуральных $a$ и всех $\omega \in [0; 1)$.

Ответ: $\{a + \omega\} = \omega$, что и требовалось доказать.

б)

Нам нужно доказать, что $\{a - \omega\} = 1 - \omega$. Снова воспользуемся определением дробной части: $\{x\} = x - [x]$. Таким образом, $\{a - \omega\} = (a - \omega) - [a - \omega]$.

Рассмотрим два случая для $\omega$, так как по условию $\omega \in [0; 1)$.

Случай 1: $\omega = 0$.

Подставим $\omega = 0$ в левую и правую части доказываемого равенства. Левая часть: $\{a - \omega\} = \{a - 0\} = \{a\}$. Поскольку $a$ — натуральное (а значит, целое) число, его дробная часть равна 0. Итак, $\{a\} = 0$. Правая часть: $1 - \omega = 1 - 0 = 1$. Получаем $0 = 1$, что является неверным равенством. Следовательно, исходное утверждение для $\omega = 0$ не выполняется.

Случай 2: $\omega \in (0, 1)$.

В этом случае для $\omega$ выполняется строгое неравенство $0 < \omega < 1$. Умножим это двойное неравенство на -1, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные: $-1 < -\omega < 0$.

Прибавим ко всем частям неравенства натуральное число $a$: $a - 1 < a - \omega < a$.

Число $a - \omega$ заключено в интервале между двумя последовательными целыми числами: $a - 1$ и $a$. Следовательно, по определению целой части, $[a - \omega] = a - 1$.

Теперь подставим это значение в формулу для дробной части: $\{a - \omega\} = (a - \omega) - [a - \omega] = (a - \omega) - (a - 1) = a - \omega - a + 1 = 1 - \omega$.

Таким образом, равенство $\{a - \omega\} = 1 - \omega$ верно для любого натурального числа $a$ и любого $\omega \in (0, 1)$.

Ответ: Равенство $\{a - \omega\} = 1 - \omega$ верно для любого натурального числа $a$ и любого $\omega \in (0, 1)$. Для $\omega = 0$ равенство не выполняется, так как его левая часть обращается в 0, а правая — в 1.

7.72. a) Найдите все числа $x$, для которых $\{x\} = 0,123$;

б) найдите наибольшее целое число, не превосходящее 1000, дробная часть которого равна 0,123.

а)

По определению, дробная часть числа $x$, обозначаемая как $\{x\}$, вычисляется по формуле $\{x\} = x - [x]$, где $[x]$ — это целая часть числа $x$ (наибольшее целое число, не превосходящее $x$).

В условии задачи дано, что $\{x\} = 0,123$.

Подставим это значение в формулу: $0,123 = x - [x]$.

Выразим $x$: $x = [x] + 0,123$.

Целая часть числа, $[x]$, может быть любым целым числом. Обозначим $[x]$ через $n$, где $n \in \mathbb{Z}$ ( $\mathbb{Z}$ — множество всех целых чисел).

Таким образом, все числа $x$, для которых дробная часть равна $0,123$, имеют вид $x = n + 0,123$, где $n$ — любое целое число.

Ответ: $x = n + 0,123$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б)

Формулировка "найдите наибольшее целое число, ..., дробная часть которого равна 0,123" является несколько неоднозначной, так как дробная часть любого целого числа равна 0, а не 0,123. Наиболее вероятная трактовка состоит в том, чтобы найти наибольшую возможную целую часть $[x]$ для числа $x$, которое удовлетворяет условиям.

Итак, мы ищем число $x$, которое удовлетворяет двум условиям:
1. Число $x$ не превосходит 1000, то есть $x \le 1000$.
2. Дробная часть числа $x$ равна $0,123$, то есть $\{x\} = 0,123$.

Из пункта а) мы знаем, что любое число $x$ с такой дробной частью можно представить в виде $x = n + 0,123$, где $n$ — целая часть числа $x$ ($n = [x]$).

Подставим это выражение в неравенство $x \le 1000$:
$n + 0,123 \le 1000$

Теперь решим это неравенство относительно $n$:
$n \le 1000 - 0,123$
$n \le 999,877$

Поскольку $n$ — это целое число, наибольшее целое значение $n$, удовлетворяющее этому неравенству, — это $999$.

Это и есть наибольшее целое число, которое может быть целой частью числа $x$, не превосходящего 1000, с дробной частью 0,123. Соответствующее число $x$ будет равно $999 + 0,123 = 999,123$, что действительно не превосходит 1000.

Ответ: 999.

7.73. Постройте график заданной функции на отрезке $[-4; 4]$:

а) $y = [x];$

б) $y = [1 - x];$

в) $y = [x + 4];$

г) $y = \left[\frac{1 - x}{2}\right].$

а) $y = [x]$

Функция $y = [x]$ называется «целая часть числа» или «антье». Она сопоставляет каждому действительному числу $x$ наибольшее целое число, не превосходящее $x$. График этой функции является кусочно-постоянным и имеет вид «лесенки».

Построим график на отрезке $[-4; 4]$, рассматривая целочисленные промежутки:

Если $-4 \le x < -3$, то $y = [x] = -4$.
Если $-3 \le x < -2$, то $y = [x] = -3$.
Если $-2 \le x < -1$, то $y = [x] = -2$.
Если $-1 \le x < 0$, то $y = [x] = -1$.
Если $0 \le x < 1$, то $y = [x] = 0$.
Если $1 \le x < 2$, то $y = [x] = 1$.
Если $2 \le x < 3$, то $y = [x] = 2$.
Если $3 \le x < 4$, то $y = [x] = 3$.
Если $x = 4$, то $y = [4] = 4$.

Каждый промежуток вида $[n, n+1)$ на оси $Ox$ отображается в одну точку $n$ на оси $Oy$. График состоит из горизонтальных отрезков (ступенек) длиной 1. Левый конец каждого отрезка включен в график (на чертеже обозначается закрашенной точкой), а правый — исключен (обозначается выколотой точкой). Последняя точка графика на заданном отрезке — $(4, 4)$.

Ответ: График функции представляет собой «восходящую лесенку», состоящую из восьми горизонтальных отрезков и одной точки. Ступеньки начинаются с отрезка $y=-4$ на полуинтервале $[-4, -3)$ и поднимаются на 1 с каждым шагом по $x$ длиной 1, заканчиваясь точкой $(4, 4)$.

б) $y = [1 - x]$

Для построения графика этой функции проанализируем, каким целым числом $k$ может быть значение $y$. По определению целой части, $y=k$ тогда и только тогда, когда $k \le 1 - x < k+1$.

Преобразуем это двойное неравенство относительно $x$:

$k - 1 \le -x < k$
$-k < x \le -k+1$

Теперь найдем значения $y$ для $x$ из отрезка $[-4; 4]$:

Если $x=-4$, $y=[1-(-4)]=[5]=5$. Это точка $(-4, 5)$.
При $y=4$ (т.е. $k=4$), имеем $-4 < x \le -3$. Это отрезок прямой $y=4$ на полуинтервале $(-4, -3]$.
При $y=3$ ($k=3$), имеем $-3 < x \le -2$.
При $y=2$ ($k=2$), имеем $-2 < x \le -1$.
При $y=1$ ($k=1$), имеем $-1 < x \le 0$.
При $y=0$ ($k=0$), имеем $0 < x \le 1$.
При $y=-1$ ($k=-1$), имеем $1 < x \le 2$.
При $y=-2$ ($k=-2$), имеем $2 < x \le 3$.
При $y=-3$ ($k=-3$), имеем $3 < x \le 4$.

График также является «лесенкой», но ступеньки идут вниз. Левый конец каждой ступеньки выколот, а правый — закрашен.

Ответ: График функции — это «убывающая лесенка». Она начинается с изолированной точки $(-4, 5)$ и далее состоит из горизонтальных отрезков длиной 1. Отрезок $y=4$ на $(-4, -3]$, отрезок $y=3$ на $(-3, -2]$, и так далее до отрезка $y=-3$ на $(3, 4]$.

в) $y = [x + 4]$

Для построения графика этой функции можно использовать известное свойство целой части: $[a + n] = [a] + n$ для любого действительного $a$ и целого $n$.

В нашем случае $n=4$, поэтому $y = [x + 4] = [x] + 4$.

Это означает, что график функции $y = [x + 4]$ получается из графика функции $y = [x]$ (построенного в пункте а)) сдвигом вверх на 4 единицы вдоль оси $Oy$.

Таким образом, для каждого отрезка из пункта а) значение $y$ увеличивается на 4:

Если $-4 \le x < -3$, то $y = -4 + 4 = 0$.
Если $-3 \le x < -2$, то $y = -3 + 4 = 1$.
Если $-2 \le x < -1$, то $y = -2 + 4 = 2$.
Если $-1 \le x < 0$, то $y = -1 + 4 = 3$.
Если $0 \le x < 1$, то $y = 0 + 4 = 4$.
Если $1 \le x < 2$, то $y = 1 + 4 = 5$.
Если $2 \le x < 3$, то $y = 2 + 4 = 6$.
Если $3 \le x < 4$, то $y = 3 + 4 = 7$.
Если $x = 4$, то $y = [4] + 4 = 4 + 4 = 8$.

Ответ: График функции представляет собой «восходящую лесенку», аналогичную графику из пункта а), но сдвинутую на 4 единицы вверх. Ступеньки начинаются с отрезка $y=0$ на $[-4, -3)$ и поднимаются на 1 с каждым шагом по $x$ длиной 1, заканчиваясь точкой $(4, 8)$.

г) $y = \left[\frac{1 - x}{2}\right]$

Пусть $y=k$, где $k$ — целое число. По определению целой части:

$k \le \frac{1 - x}{2} < k+1$

Умножим все части неравенства на 2:

$2k \le 1 - x < 2k+2$

Вычтем 1:

$2k - 1 \le -x < 2k + 1$

Умножим на -1, изменив знаки неравенства:

$-2k - 1 < x \le -2k + 1$

Длина каждого такого полуинтервала по $x$ равна $(-2k+1) - (-2k-1) = 2$. Таким образом, ступеньки графика будут иметь длину 2.

Найдем значения $y$ для $x$ из отрезка $[-4; 4]$, подставляя различные целые $k$:

При $k=2$, имеем $-5 < x \le -3$. На отрезке $[-4; 4]$ это дает отрезок $[-4, -3]$. Таким образом, $y=2$ при $x \in [-4, -3]$.
При $k=1$, имеем $-3 < x \le -1$. Таким образом, $y=1$ при $x \in (-3, -1]$.
При $k=0$, имеем $-1 < x \le 1$. Таким образом, $y=0$ при $x \in (-1, 1]$.
При $k=-1$, имеем $1 < x \le 3$. Таким образом, $y=-1$ при $x \in (1, 3]$.
При $k=-2$, имеем $3 < x \le 5$. На отрезке $[-4; 4]$ это дает полуинтервал $(3, 4]$. Таким образом, $y=-2$ при $x \in (3, 4]$.

Ответ: График функции — это «убывающая лесенка», ступеньки которой имеют длину 2. График состоит из следующих горизонтальных отрезков: $y=2$ на $[-4, -3]$, $y=1$ на $(-3, -1]$, $y=0$ на $(-1, 1]$, $y=-1$ на $(1, 3]$ и $y=-2$ на $(3, 4]$.

7.74. Постройте график заданной функции на отрезке $[-4; 4]$:

а) $y = \{x\};$

б) $y = \{1 - x\};$

в) $y = \{x + 4\};$

г) $y = \left\{ \left[ \frac{1-x}{2} \right] \right\}.$

а) $y = \{x\}$

Функция $y = \{x\}$ — это дробная часть числа $x$. По определению, $\{x\} = x - [x]$, где $[x]$ — целая часть числа $x$ (наибольшее целое число, не превосходящее $x$). Значения функции всегда находятся в промежутке $[0, 1)$. Функция является периодической с основным периодом 1, так как $\{x+1\} = (x+1) - [x+1] = (x+1) - ([x]+1) = x - [x] = \{x\}$.

Для построения графика на отрезке $[-4; 4]$ рассмотрим поведение функции на каждом целом промежутке $[n, n+1)$:

• При $x \in [-4, -3)$, $[x] = -4$, поэтому $y = x - (-4) = x + 4$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(-4, 0)$ и $(-3, 1)$ (точка $(-3, 1)$ выколота).
• При $x \in [-3, -2)$, $[x] = -3$, поэтому $y = x - (-3) = x + 3$. Это отрезок прямой от $(-3, 0)$ до $(-2, 1)$ (выколота).
• При $x \in [-2, -1)$, $[x] = -2$, поэтому $y = x - (-2) = x + 2$. Это отрезок прямой от $(-2, 0)$ до $(-1, 1)$ (выколота).
• При $x \in [-1, 0)$, $[x] = -1$, поэтому $y = x - (-1) = x + 1$. Это отрезок прямой от $(-1, 0)$ до $(0, 1)$ (выколота).
• При $x \in [0, 1)$, $[x] = 0$, поэтому $y = x$. Это отрезок прямой от $(0, 0)$ до $(1, 1)$ (выколота).
• При $x \in [1, 2)$, $[x] = 1$, поэтому $y = x - 1$. Это отрезок прямой от $(1, 0)$ до $(2, 1)$ (выколота).
• При $x \in [2, 3)$, $[x] = 2$, поэтому $y = x - 2$. Это отрезок прямой от $(2, 0)$ до $(3, 1)$ (выколота).
• При $x \in [3, 4)$, $[x] = 3$, поэтому $y = x - 3$. Это отрезок прямой от $(3, 0)$ до $(4, 1)$ (выколота).
• В точке $x = 4$, $y = \{4\} = 4 - 4 = 0$. График заканчивается в точке $(4, 0)$.

Ответ: График функции представляет собой "пилообразную" кривую, состоящую из 8 отрезков прямых с угловым коэффициентом 1. Каждый отрезок начинается в точке $(n, 0)$ (для $n = -4, -3, ..., 3$) и поднимается до высоты 1, не достигая её. В каждой целой точке $x=n$ (кроме $x=4$) происходит разрыв: значение функции равно 0, а предел слева равен 1.

б) $y = \{1 - x\}$

Воспользуемся свойствами дробной части. Для любого целого числа $n$ и действительного $a$ выполняется равенство $\{a+n\} = \{a\}$. Поскольку 1 - целое число, то $\{1-x\} = \{-x\}$. Таким образом, нам нужно построить график функции $y = \{-x\}$.

График функции $y=f(-x)$ получается из графика функции $y=f(x)$ зеркальным отражением относительно оси OY. Следовательно, график $y = \{-x\}$ является отражением графика $y = \{x\}$ из пункта а).

График будет состоять из отрезков с угловым коэффициентом -1.

• При $x \in (3, 4]$, $-x \in [-4, -3)$, поэтому $y = \{-x\} = -x - [-x] = -x - (-4) = 4-x$. Отрезок от $(3, 1)$ (выколота) до $(4, 0)$.
• При $x \in (2, 3]$, $y = 3-x$. Отрезок от $(2, 1)$ (выколота) до $(3, 0)$.
• При $x \in (1, 2]$, $y = 2-x$. Отрезок от $(1, 1)$ (выколота) до $(2, 0)$.
• При $x \in (0, 1]$, $y = 1-x$. Отрезок от $(0, 1)$ (выколота) до $(1, 0)$.
• При $x \in (-1, 0]$, $y = -x$. Отрезок от $(-1, 1)$ (выколота) до $(0, 0)$.
• ...и так далее до $x \in (-4, -3]$, где $y = -3-x$. Отрезок от $(-4, 1)$ (выколота) до $(-3, 0)$.
• В точке $x=-4$, $y=\{1-(-4)\}=\{5\}=0$. График начинается в точке $(-4, 0)$.

Ответ: График функции является зеркальным отражением графика $y=\{x\}$ относительно оси OY. Он представляет собой "пилу" из параллельных отрезков прямых с наклоном -1. Каждый отрезок начинается вблизи точки $(n, 1)$ и заканчивается в точке $(n+1, 0)$. В каждой целой точке $x=n$ (кроме $x=-4$) происходит разрыв: значение функции равно 0, а предел справа равен 1.

в) $y = \{x + 4\}$

Функция дробной части $y=\{a\}$ является периодической с любым целым периодом $T$. В частности, для любого целого $n$ выполняется тождество $\{a+n\}=\{a\}$.

В данном случае $a=x$ и $n=4$. Так как 4 — целое число, то $\{x+4\} = \{x\}$. Следовательно, функция $y = \{x + 4\}$ тождественно равна функции $y = \{x\}$.

Ответ: График функции $y = \{x + 4\}$ полностью совпадает с графиком функции $y = \{x\}$ из пункта а).

г) $y = \{\frac{1 - x}{2}\}$

Эта функция является композицией линейной функции $t(x) = \frac{1-x}{2}$ и функции дробной части $y=\{t\}$. Функция $y=\{t\}$ имеет период 1 по $t$. Найдем период функции по $x$: $\frac{1-x_2}{2} = \frac{1-x_1}{2} + k$, где $k$ — целое число. $1-x_2 = 1-x_1 + 2k \implies x_2 = x_1 - 2k$. Период функции по $x$ равен 2.

Разрывы (скачки от значения, близкого к 1, к 0) происходят, когда аргумент дробной части $\frac{1-x}{2}$ является целым числом: $\frac{1-x}{2} = k \implies 1-x=2k \implies x = 1-2k$. На отрезке $[-4; 4]$ это точки: $x=3$ (при $k=-1$), $x=1$ (при $k=0$), $x=-1$ (при $k=1$), $x=-3$ (при $k=2$). В этих точках $y=0$.

На каждом интервале между точками разрыва функция является линейной с наклоном $\frac{d}{dx}(\frac{1-x}{2}) = -\frac{1}{2}$.

• При $x \in [-4, -3]$, $\frac{1-x}{2} \in [2, 2.5]$, поэтому $[\frac{1-x}{2}]=2$. $y = \frac{1-x}{2} - 2 = -\frac{x}{2} - \frac{3}{2}$. Отрезок, соединяющий точки $(-4, 0.5)$ и $(-3, 0)$.
• При $x \in (-3, -1]$, $\frac{1-x}{2} \in [1, 2)$, поэтому $[\frac{1-x}{2}]=1$. $y = \frac{1-x}{2} - 1 = -\frac{x}{2} - \frac{1}{2}$. Отрезок от $(-3, 1)$ (выколота) до $(-1, 0)$.
• При $x \in (-1, 1]$, $\frac{1-x}{2} \in [0, 1)$, поэтому $[\frac{1-x}{2}]=0$. $y = \frac{1-x}{2}$. Отрезок от $(-1, 1)$ (выколота) до $(1, 0)$.
• При $x \in (1, 3]$, $\frac{1-x}{2} \in [-1, 0)$, поэтому $[\frac{1-x}{2}]=-1$. $y = \frac{1-x}{2} - (-1) = -\frac{x}{2} + \frac{3}{2}$. Отрезок от $(1, 1)$ (выколота) до $(3, 0)$.
• При $x \in (3, 4]$, $\frac{1-x}{2} \in [-1.5, -1)$, поэтому $[\frac{1-x}{2}]=-2$. $y = \frac{1-x}{2} - (-2) = -\frac{x}{2} + \frac{5}{2}$. Отрезок от $(3, 1)$ (выколота) до $(4, 0.5)$.

Ответ: График функции представляет собой "пилообразную" кривую с периодом 2, состоящую из отрезков прямых с угловым коэффициентом $-1/2$. В точках $x = -3, -1, 1, 3$ значение функции равно 0, и в них происходит разрыв (предел справа равен 1). График состоит из отрезка от $(-4, 0.5)$ до $(-3, 0)$, и далее из трех повторяющихся "зубцов", идущих от $(2k-1, 1)$ (выколота) до $(2k+1, 0)$, и конечного отрезка от $(3,1)$ (выколота) до $(4, 0.5)$.

8.1. Найдите промежутки монотонности функции:

a) $y = 2x^2 - 3x + 4;$

б) $y = \sqrt{1 - x};$

в) $y = 5x^2 + 6x - 11;$

г) $y = \sqrt{3 + 5x}.$

а) $y = 2x^2 - 3x + 4$

Данная функция является квадратичной, её график — парабола. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$. Для нахождения промежутков монотонности найдем производную функции: $y' = (2x^2 - 3x + 4)' = 4x - 3$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $y' = 0 \implies 4x - 3 = 0 \implies 4x = 3 \implies x = \frac{3}{4}$.

Критическая точка $x = \frac{3}{4}$ делит числовую ось на два промежутка: $(-\infty, \frac{3}{4})$ и $(\frac{3}{4}, +\infty)$. Определим знак производной на каждом из этих промежутков.

• При $x \in (-\infty, \frac{3}{4})$, например при $x=0$, $y'(0) = 4(0) - 3 = -3 < 0$. Следовательно, на этом промежутке функция убывает.
• При $x \in (\frac{3}{4}, +\infty)$, например при $x=1$, $y'(1) = 4(1) - 3 = 1 > 0$. Следовательно, на этом промежутке функция возрастает.

Так как функция непрерывна в точке $x = \frac{3}{4}$, эту точку можно включить в оба промежутка.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, \frac{3}{4}]$ и возрастает на промежутке $[\frac{3}{4}, +\infty)$.

б) $y = \sqrt{1-x}$

Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $1 - x \ge 0 \implies x \le 1$. Таким образом, область определения $D(y) = (-\infty, 1]$.

Найдем производную функции по правилу дифференцирования сложной функции: $y' = (\sqrt{1-x})' = \frac{1}{2\sqrt{1-x}} \cdot (1-x)' = \frac{1}{2\sqrt{1-x}} \cdot (-1) = -\frac{1}{2\sqrt{1-x}}$.

Производная определена для всех $x$ из интервала $(-\infty, 1)$. На этом интервале знаменатель $2\sqrt{1-x}$ всегда положителен. Числитель равен -1 (отрицателен). Следовательно, $y' < 0$ для всех $x \in (-\infty, 1)$.

Это означает, что функция является убывающей на всей своей области определения.

Ответ: функция убывает на всей области определения, то есть на промежутке $(-\infty, 1]$.

в) $y = 5x^2 + 6x - 11$

Это квадратичная функция, её график — парабола. Область определения — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$. Найдем производную функции: $y' = (5x^2 + 6x - 11)' = 10x + 6$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y' = 0 \implies 10x + 6 = 0 \implies 10x = -6 \implies x = -\frac{6}{10} = -\frac{3}{5}$.

Критическая точка $x = -\frac{3}{5}$ делит числовую ось на два промежутка: $(-\infty, -\frac{3}{5})$ и $(-\frac{3}{5}, +\infty)$. Определим знак производной на каждом из них.

• При $x \in (-\infty, -\frac{3}{5})$, например при $x=-1$, $y'(-1) = 10(-1) + 6 = -4 < 0$. Следовательно, на этом промежутке функция убывает.
• При $x \in (-\frac{3}{5}, +\infty)$, например при $x=0$, $y'(0) = 10(0) + 6 = 6 > 0$. Следовательно, на этом промежутке функция возрастает.

Так как функция непрерывна, точку $x = -\frac{3}{5}$ можно включить в промежутки монотонности.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, -\frac{3}{5}]$ и возрастает на промежутке $[-\frac{3}{5}, +\infty)$.

г) $y = \sqrt{3+5x}$

Найдем область определения функции из условия, что подкоренное выражение неотрицательно: $3 + 5x \ge 0 \implies 5x \ge -3 \implies x \ge -\frac{3}{5}$. Область определения $D(y) = [-\frac{3}{5}, +\infty)$.

Найдем производную функции: $y' = (\sqrt{3+5x})' = \frac{1}{2\sqrt{3+5x}} \cdot (3+5x)' = \frac{1}{2\sqrt{3+5x}} \cdot 5 = \frac{5}{2\sqrt{3+5x}}$.

Производная определена на интервале $(-\frac{3}{5}, +\infty)$. На этом интервале числитель $5 > 0$ и знаменатель $2\sqrt{3+5x} > 0$. Следовательно, $y' > 0$ для всех $x \in (-\frac{3}{5}, +\infty)$.

Это означает, что функция является возрастающей на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на всей области определения, то есть на промежутке $[-\frac{3}{5}, +\infty)$.