Номер 7.73, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.73. Постройте график заданной функции на отрезке $[-4; 4]$:

а) $y = [x];$

б) $y = [1 - x];$

в) $y = [x + 4];$

г) $y = \left[\frac{1 - x}{2}\right].$

а) $y = [x]$

Функция $y = [x]$ называется «целая часть числа» или «антье». Она сопоставляет каждому действительному числу $x$ наибольшее целое число, не превосходящее $x$. График этой функции является кусочно-постоянным и имеет вид «лесенки».

Построим график на отрезке $[-4; 4]$, рассматривая целочисленные промежутки:

Если $-4 \le x < -3$, то $y = [x] = -4$.
Если $-3 \le x < -2$, то $y = [x] = -3$.
Если $-2 \le x < -1$, то $y = [x] = -2$.
Если $-1 \le x < 0$, то $y = [x] = -1$.
Если $0 \le x < 1$, то $y = [x] = 0$.
Если $1 \le x < 2$, то $y = [x] = 1$.
Если $2 \le x < 3$, то $y = [x] = 2$.
Если $3 \le x < 4$, то $y = [x] = 3$.
Если $x = 4$, то $y = [4] = 4$.

Каждый промежуток вида $[n, n+1)$ на оси $Ox$ отображается в одну точку $n$ на оси $Oy$. График состоит из горизонтальных отрезков (ступенек) длиной 1. Левый конец каждого отрезка включен в график (на чертеже обозначается закрашенной точкой), а правый — исключен (обозначается выколотой точкой). Последняя точка графика на заданном отрезке — $(4, 4)$.

Ответ: График функции представляет собой «восходящую лесенку», состоящую из восьми горизонтальных отрезков и одной точки. Ступеньки начинаются с отрезка $y=-4$ на полуинтервале $[-4, -3)$ и поднимаются на 1 с каждым шагом по $x$ длиной 1, заканчиваясь точкой $(4, 4)$.

б) $y = [1 - x]$

Для построения графика этой функции проанализируем, каким целым числом $k$ может быть значение $y$. По определению целой части, $y=k$ тогда и только тогда, когда $k \le 1 - x < k+1$.

Преобразуем это двойное неравенство относительно $x$:

$k - 1 \le -x < k$
$-k < x \le -k+1$

Теперь найдем значения $y$ для $x$ из отрезка $[-4; 4]$:

Если $x=-4$, $y=[1-(-4)]=[5]=5$. Это точка $(-4, 5)$.
При $y=4$ (т.е. $k=4$), имеем $-4 < x \le -3$. Это отрезок прямой $y=4$ на полуинтервале $(-4, -3]$.
При $y=3$ ($k=3$), имеем $-3 < x \le -2$.
При $y=2$ ($k=2$), имеем $-2 < x \le -1$.
При $y=1$ ($k=1$), имеем $-1 < x \le 0$.
При $y=0$ ($k=0$), имеем $0 < x \le 1$.
При $y=-1$ ($k=-1$), имеем $1 < x \le 2$.
При $y=-2$ ($k=-2$), имеем $2 < x \le 3$.
При $y=-3$ ($k=-3$), имеем $3 < x \le 4$.

График также является «лесенкой», но ступеньки идут вниз. Левый конец каждой ступеньки выколот, а правый — закрашен.

Ответ: График функции — это «убывающая лесенка». Она начинается с изолированной точки $(-4, 5)$ и далее состоит из горизонтальных отрезков длиной 1. Отрезок $y=4$ на $(-4, -3]$, отрезок $y=3$ на $(-3, -2]$, и так далее до отрезка $y=-3$ на $(3, 4]$.

в) $y = [x + 4]$

Для построения графика этой функции можно использовать известное свойство целой части: $[a + n] = [a] + n$ для любого действительного $a$ и целого $n$.

В нашем случае $n=4$, поэтому $y = [x + 4] = [x] + 4$.

Это означает, что график функции $y = [x + 4]$ получается из графика функции $y = [x]$ (построенного в пункте а)) сдвигом вверх на 4 единицы вдоль оси $Oy$.

Таким образом, для каждого отрезка из пункта а) значение $y$ увеличивается на 4:

Если $-4 \le x < -3$, то $y = -4 + 4 = 0$.
Если $-3 \le x < -2$, то $y = -3 + 4 = 1$.
Если $-2 \le x < -1$, то $y = -2 + 4 = 2$.
Если $-1 \le x < 0$, то $y = -1 + 4 = 3$.
Если $0 \le x < 1$, то $y = 0 + 4 = 4$.
Если $1 \le x < 2$, то $y = 1 + 4 = 5$.
Если $2 \le x < 3$, то $y = 2 + 4 = 6$.
Если $3 \le x < 4$, то $y = 3 + 4 = 7$.
Если $x = 4$, то $y = [4] + 4 = 4 + 4 = 8$.

Ответ: График функции представляет собой «восходящую лесенку», аналогичную графику из пункта а), но сдвинутую на 4 единицы вверх. Ступеньки начинаются с отрезка $y=0$ на $[-4, -3)$ и поднимаются на 1 с каждым шагом по $x$ длиной 1, заканчиваясь точкой $(4, 8)$.

г) $y = \left[\frac{1 - x}{2}\right]$

Пусть $y=k$, где $k$ — целое число. По определению целой части:

$k \le \frac{1 - x}{2} < k+1$

Умножим все части неравенства на 2:

$2k \le 1 - x < 2k+2$

Вычтем 1:

$2k - 1 \le -x < 2k + 1$

Умножим на -1, изменив знаки неравенства:

$-2k - 1 < x \le -2k + 1$

Длина каждого такого полуинтервала по $x$ равна $(-2k+1) - (-2k-1) = 2$. Таким образом, ступеньки графика будут иметь длину 2.

Найдем значения $y$ для $x$ из отрезка $[-4; 4]$, подставляя различные целые $k$:

При $k=2$, имеем $-5 < x \le -3$. На отрезке $[-4; 4]$ это дает отрезок $[-4, -3]$. Таким образом, $y=2$ при $x \in [-4, -3]$.
При $k=1$, имеем $-3 < x \le -1$. Таким образом, $y=1$ при $x \in (-3, -1]$.
При $k=0$, имеем $-1 < x \le 1$. Таким образом, $y=0$ при $x \in (-1, 1]$.
При $k=-1$, имеем $1 < x \le 3$. Таким образом, $y=-1$ при $x \in (1, 3]$.
При $k=-2$, имеем $3 < x \le 5$. На отрезке $[-4; 4]$ это дает полуинтервал $(3, 4]$. Таким образом, $y=-2$ при $x \in (3, 4]$.

Ответ: График функции — это «убывающая лесенка», ступеньки которой имеют длину 2. График состоит из следующих горизонтальных отрезков: $y=2$ на $[-4, -3]$, $y=1$ на $(-3, -1]$, $y=0$ на $(-1, 1]$, $y=-1$ на $(1, 3]$ и $y=-2$ на $(3, 4]$.