Номер 7.71, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.71. Пусть $\omega \in [0; 1)$. Докажите, что для любого натурального числа $a$ верно равенство:

а) ${a + \omega} = \omega;$

б) ${a - \omega} = 1 - \omega.$

а)

По определению, дробная часть действительного числа $x$, обозначаемая как $\{x\}$, вычисляется по формуле $\{x\} = x - [x]$, где $[x]$ — это целая часть числа $x$ (наибольшее целое число, не превосходящее $x$). Нам нужно доказать, что $\{a + \omega\} = \omega$.

Применим определение дробной части к выражению $a + \omega$: $\{a + \omega\} = (a + \omega) - [a + \omega]$.

По условию, $a$ — натуральное число (то есть, $a$ — целое и $a \ge 1$), а $\omega$ удовлетворяет неравенству $0 \le \omega < 1$. Сложим $a$ со всеми частями этого неравенства: $a + 0 \le a + \omega < a + 1$, что равносильно $a \le a + \omega < a + 1$.

Так как $a$ — целое число, из неравенства $a \le a + \omega < a + 1$ следует, что целая часть числа $a + \omega$ равна $a$. То есть, $[a + \omega] = a$. Это свойство иногда формулируют как $[n + x] = n + [x]$ для целого $n$, и в нашем случае $[a + \omega] = a + [\omega] = a + 0 = a$.

Теперь подставим найденное значение целой части обратно в формулу для дробной части: $\{a + \omega\} = (a + \omega) - a = \omega$.

Равенство доказано для всех натуральных $a$ и всех $\omega \in [0; 1)$.

Ответ: $\{a + \omega\} = \omega$, что и требовалось доказать.

б)

Нам нужно доказать, что $\{a - \omega\} = 1 - \omega$. Снова воспользуемся определением дробной части: $\{x\} = x - [x]$. Таким образом, $\{a - \omega\} = (a - \omega) - [a - \omega]$.

Рассмотрим два случая для $\omega$, так как по условию $\omega \in [0; 1)$.

Случай 1: $\omega = 0$.

Подставим $\omega = 0$ в левую и правую части доказываемого равенства. Левая часть: $\{a - \omega\} = \{a - 0\} = \{a\}$. Поскольку $a$ — натуральное (а значит, целое) число, его дробная часть равна 0. Итак, $\{a\} = 0$. Правая часть: $1 - \omega = 1 - 0 = 1$. Получаем $0 = 1$, что является неверным равенством. Следовательно, исходное утверждение для $\omega = 0$ не выполняется.

Случай 2: $\omega \in (0, 1)$.

В этом случае для $\omega$ выполняется строгое неравенство $0 < \omega < 1$. Умножим это двойное неравенство на -1, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные: $-1 < -\omega < 0$.

Прибавим ко всем частям неравенства натуральное число $a$: $a - 1 < a - \omega < a$.

Число $a - \omega$ заключено в интервале между двумя последовательными целыми числами: $a - 1$ и $a$. Следовательно, по определению целой части, $[a - \omega] = a - 1$.

Теперь подставим это значение в формулу для дробной части: $\{a - \omega\} = (a - \omega) - [a - \omega] = (a - \omega) - (a - 1) = a - \omega - a + 1 = 1 - \omega$.

Таким образом, равенство $\{a - \omega\} = 1 - \omega$ верно для любого натурального числа $a$ и любого $\omega \in (0, 1)$.

Ответ: Равенство $\{a - \omega\} = 1 - \omega$ верно для любого натурального числа $a$ и любого $\omega \in (0, 1)$. Для $\omega = 0$ равенство не выполняется, так как его левая часть обращается в 0, а правая — в 1.