Номер 8.2, страница 56, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

8.2. Докажите:

а) если функция $y = f(x)$ возрастает на промежутке $X$ и $a > 0$, то при любом значении $b$ функция $y = a \cdot f(x) + b$ возрастает на $X$;

б) если функция $y = f(x)$ убывает на промежутке $X$ и $a < 0$, то при любом значении $b$ функция $y = a \cdot f(x) + b$ возрастает на $X$;

в) если функция $y = f(x)$ убывает на промежутке $X$ и $a > 0$, то при любом значении $b$ функция $y = a \cdot f(x) + b$ убывает на $X$;

г) если функция $y = f(x)$ возрастает на промежутке $X$ и $a < 0$, то при любом значении $b$ функция $y = a \cdot f(x) + b$ убывает на $X$.

Для доказательства всех утверждений воспользуемся определением монотонности функции. Функция $g(x)$ называется возрастающей на промежутке $X$, если для любых $x_1, x_2 \in X$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $g(x_1) < g(x_2)$. Функция называется убывающей, если при тех же условиях выполняется $g(x_1) > g(x_2)$.

Рассмотрим функцию $y = g(x) = a \cdot f(x) + b$. Выберем произвольные точки $x_1, x_2$ из промежутка $X$ так, что $x_1 < x_2$. Исследуем знак разности $g(x_2) - g(x_1)$:

$g(x_2) - g(x_1) = (a \cdot f(x_2) + b) - (a \cdot f(x_1) + b) = a \cdot f(x_2) + b - a \cdot f(x_1) - b = a \cdot (f(x_2) - f(x_1))$.

Знак этой разности определяет характер монотонности функции $g(x)$. Он зависит от знака сомножителей $a$ и $(f(x_2) - f(x_1))$.

а)

По условию, функция $y = f(x)$ возрастает на промежутке $X$. Это означает, что для $x_1 < x_2$ выполняется $f(x_1) < f(x_2)$, и следовательно, разность $f(x_2) - f(x_1) > 0$.
Также по условию $a > 0$.
Произведение двух положительных чисел положительно: $a \cdot (f(x_2) - f(x_1)) > 0$.
Таким образом, $g(x_2) - g(x_1) > 0$, откуда $g(x_2) > g(x_1)$.
Это по определению означает, что функция $y = a \cdot f(x) + b$ возрастает на промежутке $X$.

Ответ: утверждение доказано.

б)

По условию, функция $y = f(x)$ убывает на промежутке $X$. Это означает, что для $x_1 < x_2$ выполняется $f(x_1) > f(x_2)$, и следовательно, разность $f(x_2) - f(x_1) < 0$.
Также по условию $a < 0$.
Произведение двух отрицательных чисел положительно: $a \cdot (f(x_2) - f(x_1)) > 0$.
Таким образом, $g(x_2) - g(x_1) > 0$, откуда $g(x_2) > g(x_1)$.
Это по определению означает, что функция $y = a \cdot f(x) + b$ возрастает на промежутке $X$.

Ответ: утверждение доказано.

в)

По условию, функция $y = f(x)$ убывает на промежутке $X$. Это означает, что для $x_1 < x_2$ выполняется $f(x_1) > f(x_2)$, и следовательно, разность $f(x_2) - f(x_1) < 0$.
Также по условию $a > 0$.
Произведение положительного и отрицательного чисел отрицательно: $a \cdot (f(x_2) - f(x_1)) < 0$.
Таким образом, $g(x_2) - g(x_1) < 0$, откуда $g(x_2) < g(x_1)$.
Это по определению означает, что функция $y = a \cdot f(x) + b$ убывает на промежутке $X$.

Ответ: утверждение доказано.

г)

По условию, функция $y = f(x)$ возрастает на промежутке $X$. Это означает, что для $x_1 < x_2$ выполняется $f(x_1) < f(x_2)$, и следовательно, разность $f(x_2) - f(x_1) > 0$.
Также по условию $a < 0$.
Произведение отрицательного и положительного чисел отрицательно: $a \cdot (f(x_2) - f(x_1)) < 0$.
Таким образом, $g(x_2) - g(x_1) < 0$, откуда $g(x_2) < g(x_1)$.
Это по определению означает, что функция $y = a \cdot f(x) + b$ убывает на промежутке $X$.

Ответ: утверждение доказано.