Номер 8.1, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

8.1. Найдите промежутки монотонности функции:

a) $y = 2x^2 - 3x + 4;$

б) $y = \sqrt{1 - x};$

в) $y = 5x^2 + 6x - 11;$

г) $y = \sqrt{3 + 5x}.$

а) $y = 2x^2 - 3x + 4$

Данная функция является квадратичной, её график — парабола. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$. Для нахождения промежутков монотонности найдем производную функции: $y' = (2x^2 - 3x + 4)' = 4x - 3$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $y' = 0 \implies 4x - 3 = 0 \implies 4x = 3 \implies x = \frac{3}{4}$.

Критическая точка $x = \frac{3}{4}$ делит числовую ось на два промежутка: $(-\infty, \frac{3}{4})$ и $(\frac{3}{4}, +\infty)$. Определим знак производной на каждом из этих промежутков.

• При $x \in (-\infty, \frac{3}{4})$, например при $x=0$, $y'(0) = 4(0) - 3 = -3 < 0$. Следовательно, на этом промежутке функция убывает.
• При $x \in (\frac{3}{4}, +\infty)$, например при $x=1$, $y'(1) = 4(1) - 3 = 1 > 0$. Следовательно, на этом промежутке функция возрастает.

Так как функция непрерывна в точке $x = \frac{3}{4}$, эту точку можно включить в оба промежутка.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, \frac{3}{4}]$ и возрастает на промежутке $[\frac{3}{4}, +\infty)$.

б) $y = \sqrt{1-x}$

Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $1 - x \ge 0 \implies x \le 1$. Таким образом, область определения $D(y) = (-\infty, 1]$.

Найдем производную функции по правилу дифференцирования сложной функции: $y' = (\sqrt{1-x})' = \frac{1}{2\sqrt{1-x}} \cdot (1-x)' = \frac{1}{2\sqrt{1-x}} \cdot (-1) = -\frac{1}{2\sqrt{1-x}}$.

Производная определена для всех $x$ из интервала $(-\infty, 1)$. На этом интервале знаменатель $2\sqrt{1-x}$ всегда положителен. Числитель равен -1 (отрицателен). Следовательно, $y' < 0$ для всех $x \in (-\infty, 1)$.

Это означает, что функция является убывающей на всей своей области определения.

Ответ: функция убывает на всей области определения, то есть на промежутке $(-\infty, 1]$.

в) $y = 5x^2 + 6x - 11$

Это квадратичная функция, её график — парабола. Область определения — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$. Найдем производную функции: $y' = (5x^2 + 6x - 11)' = 10x + 6$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y' = 0 \implies 10x + 6 = 0 \implies 10x = -6 \implies x = -\frac{6}{10} = -\frac{3}{5}$.

Критическая точка $x = -\frac{3}{5}$ делит числовую ось на два промежутка: $(-\infty, -\frac{3}{5})$ и $(-\frac{3}{5}, +\infty)$. Определим знак производной на каждом из них.

• При $x \in (-\infty, -\frac{3}{5})$, например при $x=-1$, $y'(-1) = 10(-1) + 6 = -4 < 0$. Следовательно, на этом промежутке функция убывает.
• При $x \in (-\frac{3}{5}, +\infty)$, например при $x=0$, $y'(0) = 10(0) + 6 = 6 > 0$. Следовательно, на этом промежутке функция возрастает.

Так как функция непрерывна, точку $x = -\frac{3}{5}$ можно включить в промежутки монотонности.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, -\frac{3}{5}]$ и возрастает на промежутке $[-\frac{3}{5}, +\infty)$.

г) $y = \sqrt{3+5x}$

Найдем область определения функции из условия, что подкоренное выражение неотрицательно: $3 + 5x \ge 0 \implies 5x \ge -3 \implies x \ge -\frac{3}{5}$. Область определения $D(y) = [-\frac{3}{5}, +\infty)$.

Найдем производную функции: $y' = (\sqrt{3+5x})' = \frac{1}{2\sqrt{3+5x}} \cdot (3+5x)' = \frac{1}{2\sqrt{3+5x}} \cdot 5 = \frac{5}{2\sqrt{3+5x}}$.

Производная определена на интервале $(-\frac{3}{5}, +\infty)$. На этом интервале числитель $5 > 0$ и знаменатель $2\sqrt{3+5x} > 0$. Следовательно, $y' > 0$ для всех $x \in (-\frac{3}{5}, +\infty)$.

Это означает, что функция является возрастающей на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на всей области определения, то есть на промежутке $[-\frac{3}{5}, +\infty)$.