Номер 7.68, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

•7.68. Постройте на координатной плоскости xOy график соотношения:

а) $[x] = [y];$

б) $[x] > [y];$

в) $[x] < [y];$

г) $[x - 1] > [y + 1].$

а) Рассмотрим соотношение $[x] = [y]$, где $[z]$ — это целая часть числа $z$ (функция «пол», наибольшее целое число, не превосходящее $z$).
Пусть $[x] = [y] = n$, где $n$ — произвольное целое число ($n \in \mathbb{Z}$).
Условие $[x] = n$ равносильно неравенству $n \le x < n+1$.
Аналогично, условие $[y] = n$ равносильно неравенству $n \le y < n+1$.
Таким образом, для каждого целого числа $n$ мы получаем множество точек $(x, y)$, которые образуют на координатной плоскости квадрат, задаваемый системой неравенств: $$ \begin{cases} n \le x < n+1 \\ n \le y < n+1 \end{cases} $$ Это единичный квадрат с вершинами в точках $(n, n), (n+1, n), (n, n+1), (n+1, n+1)$. Границы $x=n$ и $y=n$ (левая и нижняя стороны квадрата) принадлежат искомому множеству, а границы $x=n+1$ и $y=n+1$ (правая и верхняя стороны) — не принадлежат.
График исходного соотношения представляет собой объединение всех таких квадратов для всех целых значений $n$. Например, для $n=0$ это квадрат $0 \le x < 1, 0 \le y < 1$, для $n=1$ — квадрат $1 \le x < 2, 1 \le y < 2$, и так далее.

Ответ: Графиком является бесконечное множество единичных квадратов, расположенных вдоль главной диагонали $y=x$. Для каждого целого числа $n$ в это множество входит квадрат, заданный неравенствами $n \le x < n+1$ и $n \le y < n+1$. У каждого такого квадрата левая и нижняя границы принадлежат графику, а правая и верхняя — не принадлежат.

б) Рассмотрим неравенство $[x] > [y]$.
Пусть $[x] = n$ и $[y] = m$, где $n, m \in \mathbb{Z}$. Неравенство принимает вид $n > m$.
График представляет собой объединение всех единичных квадратов вида $[n, n+1) \times [m, m+1)$ для всех целых $n$ и $m$, удовлетворяющих условию $n > m$.
Проанализируем это множество иначе. Зафиксируем значение $[y] = m$. Это означает, что $m \le y < m+1$. Тогда исходное неравенство $[x] > [y]$ превращается в $[x] > m$. Поскольку $[x]$ — целое число, это равносильно $[x] \ge m+1$. В свою очередь, неравенство $[x] \ge m+1$ равносильно $x \ge m+1$.
Таким образом, для каждой горизонтальной полосы $m \le y < m+1$ (где $m$ — целое) искомое множество точек удовлетворяет условию $x \ge m+1$.
Например:
- если $0 \le y < 1$ (т.е. $m=0$), то $x \ge 1$;
- если $1 \le y < 2$ (т.е. $m=1$), то $x \ge 2$;
- если $-1 \le y < 0$ (т.е. $m=-1$), то $x \ge 0$.
Геометрически это область, лежащая справа от "ступенчатой" границы, заданной уравнением $x = [y] + 1$.

Ответ: Графиком является множество точек $(x, y)$, удовлетворяющих условию $x \ge [y] + 1$. Это область, расположенная справа от ступенчатой линии, состоящей из лучей вида $x \ge m+1$ для $y \in [m, m+1)$, где $m$ — любое целое число.

в) Рассмотрим неравенство $[x] < [y]$.
Это соотношение является дополнением к соотношениям из пунктов а) и б) на всей координатной плоскости.
Пусть $[x] = n$ и $[y] = m$, где $n, m \in \mathbb{Z}$. Неравенство принимает вид $n < m$.
Зафиксируем значение $[x] = n$. Это означает, что $n \le x < n+1$. Тогда исходное неравенство $[x] < [y]$ превращается в $n < [y]$. Поскольку $[y]$ — целое число, это равносильно $[y] \ge n+1$. В свою очередь, неравенство $[y] \ge n+1$ равносильно $y \ge n+1$.
Таким образом, для каждой вертикальной полосы $n \le x < n+1$ (где $n$ — целое) искомое множество точек удовлетворяет условию $y \ge n+1$.
Например:
- если $0 \le x < 1$ (т.е. $n=0$), то $y \ge 1$;
- если $1 \le x < 2$ (т.е. $n=1$), то $y \ge 2$;
- если $-1 \le x < 0$ (т.е. $n=-1$), то $y \ge 0$.
Геометрически это область, лежащая выше "ступенчатой" границы, заданной уравнением $y = [x] + 1$.

Ответ: Графиком является множество точек $(x, y)$, удовлетворяющих условию $y \ge [x] + 1$. Это область, расположенная выше ступенчатой линии, состоящей из лучей вида $y \ge n+1$ для $x \in [n, n+1)$, где $n$ — любое целое число.

г) Рассмотрим неравенство $[x - 1] > [y + 1]$.
Воспользуемся свойством целой части: $[z+k] = [z] + k$ для любого действительного числа $z$ и целого числа $k$.
Применим это свойство для преобразования неравенства:
$[x - 1] = [x] - 1$
$[y + 1] = [y] + 1$
Подставив эти выражения в исходное неравенство, получим:
$[x] - 1 > [y] + 1$
Прибавим 1 к обеим частям:
$[x] > [y] + 2$
Пусть $[x] = n$ и $[y] = m$, где $n, m \in \mathbb{Z}$. Неравенство примет вид $n > m + 2$, что равносильно $n \ge m+3$.
Эта задача аналогична пункту б). Зафиксируем $[y] = m$, то есть $m \le y < m+1$. Тогда условие на $x$ будет $[x] \ge m+3$, что равносильно $x \ge m+3$.
Таким образом, для каждой горизонтальной полосы $m \le y < m+1$ искомое множество точек удовлетворяет условию $x \ge m+3$.
Например:
- если $0 \le y < 1$ (т.е. $m=0$), то $x \ge 3$;
- если $-1 \le y < 0$ (т.е. $m=-1$), то $x \ge 2$.
Граница области задается уравнением $x = [y] + 3$.

Ответ: Графиком является множество точек $(x, y)$, удовлетворяющих условию $x \ge [y] + 3$. Это область, расположенная справа от ступенчатой линии, состоящей из лучей вида $x \ge m+3$ для $y \in [m, m+1)$, где $m$ — любое целое число.