Номер 7.74, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7.74. Постройте график заданной функции на отрезке $[-4; 4]$:

а) $y = \{x\};$

б) $y = \{1 - x\};$

в) $y = \{x + 4\};$

г) $y = \left\{ \left[ \frac{1-x}{2} \right] \right\}.$

а) $y = \{x\}$

Функция $y = \{x\}$ — это дробная часть числа $x$. По определению, $\{x\} = x - [x]$, где $[x]$ — целая часть числа $x$ (наибольшее целое число, не превосходящее $x$). Значения функции всегда находятся в промежутке $[0, 1)$. Функция является периодической с основным периодом 1, так как $\{x+1\} = (x+1) - [x+1] = (x+1) - ([x]+1) = x - [x] = \{x\}$.

Для построения графика на отрезке $[-4; 4]$ рассмотрим поведение функции на каждом целом промежутке $[n, n+1)$:

• При $x \in [-4, -3)$, $[x] = -4$, поэтому $y = x - (-4) = x + 4$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(-4, 0)$ и $(-3, 1)$ (точка $(-3, 1)$ выколота).
• При $x \in [-3, -2)$, $[x] = -3$, поэтому $y = x - (-3) = x + 3$. Это отрезок прямой от $(-3, 0)$ до $(-2, 1)$ (выколота).
• При $x \in [-2, -1)$, $[x] = -2$, поэтому $y = x - (-2) = x + 2$. Это отрезок прямой от $(-2, 0)$ до $(-1, 1)$ (выколота).
• При $x \in [-1, 0)$, $[x] = -1$, поэтому $y = x - (-1) = x + 1$. Это отрезок прямой от $(-1, 0)$ до $(0, 1)$ (выколота).
• При $x \in [0, 1)$, $[x] = 0$, поэтому $y = x$. Это отрезок прямой от $(0, 0)$ до $(1, 1)$ (выколота).
• При $x \in [1, 2)$, $[x] = 1$, поэтому $y = x - 1$. Это отрезок прямой от $(1, 0)$ до $(2, 1)$ (выколота).
• При $x \in [2, 3)$, $[x] = 2$, поэтому $y = x - 2$. Это отрезок прямой от $(2, 0)$ до $(3, 1)$ (выколота).
• При $x \in [3, 4)$, $[x] = 3$, поэтому $y = x - 3$. Это отрезок прямой от $(3, 0)$ до $(4, 1)$ (выколота).
• В точке $x = 4$, $y = \{4\} = 4 - 4 = 0$. График заканчивается в точке $(4, 0)$.

Ответ: График функции представляет собой "пилообразную" кривую, состоящую из 8 отрезков прямых с угловым коэффициентом 1. Каждый отрезок начинается в точке $(n, 0)$ (для $n = -4, -3, ..., 3$) и поднимается до высоты 1, не достигая её. В каждой целой точке $x=n$ (кроме $x=4$) происходит разрыв: значение функции равно 0, а предел слева равен 1.

б) $y = \{1 - x\}$

Воспользуемся свойствами дробной части. Для любого целого числа $n$ и действительного $a$ выполняется равенство $\{a+n\} = \{a\}$. Поскольку 1 - целое число, то $\{1-x\} = \{-x\}$. Таким образом, нам нужно построить график функции $y = \{-x\}$.

График функции $y=f(-x)$ получается из графика функции $y=f(x)$ зеркальным отражением относительно оси OY. Следовательно, график $y = \{-x\}$ является отражением графика $y = \{x\}$ из пункта а).

График будет состоять из отрезков с угловым коэффициентом -1.

• При $x \in (3, 4]$, $-x \in [-4, -3)$, поэтому $y = \{-x\} = -x - [-x] = -x - (-4) = 4-x$. Отрезок от $(3, 1)$ (выколота) до $(4, 0)$.
• При $x \in (2, 3]$, $y = 3-x$. Отрезок от $(2, 1)$ (выколота) до $(3, 0)$.
• При $x \in (1, 2]$, $y = 2-x$. Отрезок от $(1, 1)$ (выколота) до $(2, 0)$.
• При $x \in (0, 1]$, $y = 1-x$. Отрезок от $(0, 1)$ (выколота) до $(1, 0)$.
• При $x \in (-1, 0]$, $y = -x$. Отрезок от $(-1, 1)$ (выколота) до $(0, 0)$.
• ...и так далее до $x \in (-4, -3]$, где $y = -3-x$. Отрезок от $(-4, 1)$ (выколота) до $(-3, 0)$.
• В точке $x=-4$, $y=\{1-(-4)\}=\{5\}=0$. График начинается в точке $(-4, 0)$.

Ответ: График функции является зеркальным отражением графика $y=\{x\}$ относительно оси OY. Он представляет собой "пилу" из параллельных отрезков прямых с наклоном -1. Каждый отрезок начинается вблизи точки $(n, 1)$ и заканчивается в точке $(n+1, 0)$. В каждой целой точке $x=n$ (кроме $x=-4$) происходит разрыв: значение функции равно 0, а предел справа равен 1.

в) $y = \{x + 4\}$

Функция дробной части $y=\{a\}$ является периодической с любым целым периодом $T$. В частности, для любого целого $n$ выполняется тождество $\{a+n\}=\{a\}$.

В данном случае $a=x$ и $n=4$. Так как 4 — целое число, то $\{x+4\} = \{x\}$. Следовательно, функция $y = \{x + 4\}$ тождественно равна функции $y = \{x\}$.

Ответ: График функции $y = \{x + 4\}$ полностью совпадает с графиком функции $y = \{x\}$ из пункта а).

г) $y = \{\frac{1 - x}{2}\}$

Эта функция является композицией линейной функции $t(x) = \frac{1-x}{2}$ и функции дробной части $y=\{t\}$. Функция $y=\{t\}$ имеет период 1 по $t$. Найдем период функции по $x$: $\frac{1-x_2}{2} = \frac{1-x_1}{2} + k$, где $k$ — целое число. $1-x_2 = 1-x_1 + 2k \implies x_2 = x_1 - 2k$. Период функции по $x$ равен 2.

Разрывы (скачки от значения, близкого к 1, к 0) происходят, когда аргумент дробной части $\frac{1-x}{2}$ является целым числом: $\frac{1-x}{2} = k \implies 1-x=2k \implies x = 1-2k$. На отрезке $[-4; 4]$ это точки: $x=3$ (при $k=-1$), $x=1$ (при $k=0$), $x=-1$ (при $k=1$), $x=-3$ (при $k=2$). В этих точках $y=0$.

На каждом интервале между точками разрыва функция является линейной с наклоном $\frac{d}{dx}(\frac{1-x}{2}) = -\frac{1}{2}$.

• При $x \in [-4, -3]$, $\frac{1-x}{2} \in [2, 2.5]$, поэтому $[\frac{1-x}{2}]=2$. $y = \frac{1-x}{2} - 2 = -\frac{x}{2} - \frac{3}{2}$. Отрезок, соединяющий точки $(-4, 0.5)$ и $(-3, 0)$.
• При $x \in (-3, -1]$, $\frac{1-x}{2} \in [1, 2)$, поэтому $[\frac{1-x}{2}]=1$. $y = \frac{1-x}{2} - 1 = -\frac{x}{2} - \frac{1}{2}$. Отрезок от $(-3, 1)$ (выколота) до $(-1, 0)$.
• При $x \in (-1, 1]$, $\frac{1-x}{2} \in [0, 1)$, поэтому $[\frac{1-x}{2}]=0$. $y = \frac{1-x}{2}$. Отрезок от $(-1, 1)$ (выколота) до $(1, 0)$.
• При $x \in (1, 3]$, $\frac{1-x}{2} \in [-1, 0)$, поэтому $[\frac{1-x}{2}]=-1$. $y = \frac{1-x}{2} - (-1) = -\frac{x}{2} + \frac{3}{2}$. Отрезок от $(1, 1)$ (выколота) до $(3, 0)$.
• При $x \in (3, 4]$, $\frac{1-x}{2} \in [-1.5, -1)$, поэтому $[\frac{1-x}{2}]=-2$. $y = \frac{1-x}{2} - (-2) = -\frac{x}{2} + \frac{5}{2}$. Отрезок от $(3, 1)$ (выколота) до $(4, 0.5)$.

Ответ: График функции представляет собой "пилообразную" кривую с периодом 2, состоящую из отрезков прямых с угловым коэффициентом $-1/2$. В точках $x = -3, -1, 1, 3$ значение функции равно 0, и в них происходит разрыв (предел справа равен 1). График состоит из отрезка от $(-4, 0.5)$ до $(-3, 0)$, и далее из трех повторяющихся "зубцов", идущих от $(2k-1, 1)$ (выколота) до $(2k+1, 0)$, и конечного отрезка от $(3,1)$ (выколота) до $(4, 0.5)$.