Номер 8.7, страница 57, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

8.7. Найдите промежутки монотонности функции:

а) $y = (x^2 - 1)^2$;

б) $y = (x^2 - 9)^2 + 6;$

в) $y = (x^2 - 3x - 10)^2$;

г) $y = (x^2 - x - 20)^2 - 18.$

Для нахождения промежутков монотонности функции необходимо найти её производную, приравнять её к нулю, чтобы найти критические точки, а затем определить знаки производной на интервалах, на которые критические точки разбивают числовую ось. Если производная положительна ($y' > 0$), функция возрастает. Если производная отрицательна ($y' < 0$), функция убывает.

а) $y = (x^2 - 1)^2$

1. Находим производную функции, используя правило производной сложной функции: $y' = (u^2)' = 2u \cdot u'$.
$y' = 2(x^2 - 1) \cdot (x^2 - 1)' = 2(x^2 - 1) \cdot 2x = 4x(x^2 - 1) = 4x(x - 1)(x + 1)$.

2. Находим критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$4x(x - 1)(x + 1) = 0$.
Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.

3. Определяем знаки производной на интервалах $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$, $(1; +\infty)$.
- На интервале $(-\infty; -1)$, $y' < 0$, следовательно, функция убывает.
- На интервале $(-1; 0)$, $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.
- На интервале $(0; 1)$, $y' < 0$, следовательно, функция убывает.
- На интервале $(1; +\infty)$, $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-1; 0]$ и $[1; +\infty)$; функция убывает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[0; 1]$.

б) $y = (x^2 - 9)^2 + 6$

1. Находим производную функции. Производная константы равна нулю.
$y' = 2(x^2 - 9) \cdot (x^2 - 9)' + 0 = 2(x^2 - 9) \cdot 2x = 4x(x^2 - 9) = 4x(x - 3)(x + 3)$.

2. Находим критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$4x(x - 3)(x + 3) = 0$.
Критические точки: $x_1 = -3$, $x_2 = 0$, $x_3 = 3$.

3. Определяем знаки производной на интервалах $(-\infty; -3)$, $(-3; 0)$, $(0; 3)$, $(3; +\infty)$.
- На интервале $(-\infty; -3)$, $y' < 0$, следовательно, функция убывает.
- На интервале $(-3; 0)$, $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.
- На интервале $(0; 3)$, $y' < 0$, следовательно, функция убывает.
- На интервале $(3; +\infty)$, $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-3; 0]$ и $[3; +\infty)$; функция убывает на промежутках $(-\infty; -3]$ и $[0; 3]$.

в) $y = (x^2 - 3x - 10)^2$

1. Находим производную функции:
$y' = 2(x^2 - 3x - 10) \cdot (x^2 - 3x - 10)' = 2(x^2 - 3x - 10)(2x - 3)$.

2. Находим критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$2(x^2 - 3x - 10)(2x - 3) = 0$.
Решаем каждое уравнение отдельно:
$x^2 - 3x - 10 = 0 \Rightarrow (x - 5)(x + 2) = 0 \Rightarrow x_1 = 5, x_2 = -2$.
$2x - 3 = 0 \Rightarrow x_3 = 1.5$.
Критические точки: $x_1 = -2$, $x_2 = 1.5$, $x_3 = 5$.

3. Определяем знаки производной $y' = 2(x - 5)(x + 2)(2x - 3)$ на интервалах $(-\infty; -2)$, $(-2; 1.5)$, $(1.5; 5)$, $(5; +\infty)$.
- На интервале $(-\infty; -2)$, $y' < 0$, следовательно, функция убывает.
- На интервале $(-2; 1.5)$, $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.
- На интервале $(1.5; 5)$, $y' < 0$, следовательно, функция убывает.
- На интервале $(5; +\infty)$, $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-2; 1.5]$ и $[5; +\infty)$; функция убывает на промежутках $(-\infty; -2]$ и $[1.5; 5]$.

г) $y = (x^2 - x - 20)^2 - 18$

1. Находим производную функции:
$y' = 2(x^2 - x - 20) \cdot (x^2 - x - 20)' - 0 = 2(x^2 - x - 20)(2x - 1)$.

2. Находим критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$2(x^2 - x - 20)(2x - 1) = 0$.
Решаем каждое уравнение отдельно:
$x^2 - x - 20 = 0 \Rightarrow (x - 5)(x + 4) = 0 \Rightarrow x_1 = 5, x_2 = -4$.
$2x - 1 = 0 \Rightarrow x_3 = 0.5$.
Критические точки: $x_1 = -4$, $x_2 = 0.5$, $x_3 = 5$.

3. Определяем знаки производной $y' = 2(x - 5)(x + 4)(2x - 1)$ на интервалах $(-\infty; -4)$, $(-4; 0.5)$, $(0.5; 5)$, $(5; +\infty)$.
- На интервале $(-\infty; -4)$, $y' < 0$, следовательно, функция убывает.
- На интервале $(-4; 0.5)$, $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.
- На интервале $(0.5; 5)$, $y' < 0$, следовательно, функция убывает.
- На интервале $(5; +\infty)$, $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-4; 0.5]$ и $[5; +\infty)$; функция убывает на промежутках $(-\infty; -4]$ и $[0.5; 5]$.