Номер 8.13, страница 59, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

8.13. Пусть функция $y = f(x)$ убывает на $\mathbb{R}$. Решите:

a) уравнение $f\left(\frac{1}{3x^2 + 4x - 7}\right) = f\left(\frac{1}{2x^2 + 3x - 5}\right)$;

б) неравенство $f\left(\frac{1}{3x^2 + 4x - 7}\right) \ge f\left(\frac{1}{2x^2 + 3x - 5}\right)$.

По условию, функция $y = f(x)$ убывает на $\mathbb{R}$. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения функции выполняются следующие соотношения:

• $f(x_1) = f(x_2)$ тогда и только тогда, когда $x_1 = x_2$.
• $f(x_1) \ge f(x_2)$ тогда и только тогда, когда $x_1 \le x_2$ (знак неравенства меняется на противоположный).

Прежде чем решать уравнение и неравенство, найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Аргументы функции $f(x)$ должны быть определены, следовательно, знаменатели дробей не могут быть равны нулю.

1. $3x^2 + 4x - 7 \ne 0$. Найдем корни квадратного уравнения $3x^2 + 4x - 7 = 0$.
Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 16 + 84 = 100 = 10^2$.
Корни: $x_1 = \frac{-4 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3}$; $x_2 = \frac{-4 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$.
Таким образом, $x \ne -\frac{7}{3}$ и $x \ne 1$.

2. $2x^2 + 3x - 5 \ne 0$. Найдем корни квадратного уравнения $2x^2 + 3x - 5 = 0$.
Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.
Корни: $x_1 = \frac{-3 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2}$; $x_2 = \frac{-3 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.
Таким образом, $x \ne -\frac{5}{2}$ и $x \ne 1$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-\frac{5}{2}, -\frac{7}{3}, 1\}$.

а) уравнение

Исходное уравнение: $f\left(\frac{1}{3x^2 + 4x - 7}\right) = f\left(\frac{1}{2x^2 + 3x - 5}\right)$.

Так как функция $f(x)$ убывающая, равенство значений функции возможно только при равенстве их аргументов. Следовательно, уравнение равносильно следующему:

$\frac{1}{3x^2 + 4x - 7} = \frac{1}{2x^2 + 3x - 5}$

Это равенство (с учетом ОДЗ) эквивалентно равенству знаменателей:

$3x^2 + 4x - 7 = 2x^2 + 3x - 5$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$(3x^2 - 2x^2) + (4x - 3x) + (-7 + 5) = 0$

$x^2 + x - 2 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -1$

$x_1 \cdot x_2 = -2$

Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

Теперь проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ne -\frac{5}{2}, x \ne -\frac{7}{3}, x \ne 1$).

• Корень $x_1 = 1$ не входит в ОДЗ, так как при этом значении знаменатели исходных дробей обращаются в ноль. Это посторонний корень.
• Корень $x_2 = -2$ удовлетворяет всем условиям ОДЗ.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $-2$.

б) неравенство

Исходное неравенство: $f\left(\frac{1}{3x^2 + 4x - 7}\right) \ge f\left(\frac{1}{2x^2 + 3x - 5}\right)$.

Так как функция $f(x)$ убывающая, знак неравенства при переходе к аргументам меняется на противоположный:

$\frac{1}{3x^2 + 4x - 7} \le \frac{1}{2x^2 + 3x - 5}$

Перенесем все члены в одну сторону:

$\frac{1}{3x^2 + 4x - 7} - \frac{1}{2x^2 + 3x - 5} \le 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{(2x^2 + 3x - 5) - (3x^2 + 4x - 7)}{(3x^2 + 4x - 7)(2x^2 + 3x - 5)} \le 0$

Упростим числитель:

$\frac{-x^2 - x + 2}{(3x^2 + 4x - 7)(2x^2 + 3x - 5)} \le 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак на противоположный:

$\frac{x^2 + x - 2}{(3x^2 + 4x - 7)(2x^2 + 3x - 5)} \ge 0$

Разложим числитель и знаменатели на множители, используя найденные ранее корни:

$\frac{(x - 1)(x + 2)}{(x - 1)(3x + 7) \cdot (x - 1)(2x + 5)} \ge 0$

Так как по ОДЗ $x \ne 1$, то $x-1 \ne 0$. Мы можем сократить дробь на $(x-1)$, но нужно учесть, что в знаменателе остается $(x-1)$. Неравенство принимает вид:

$\frac{x + 2}{(x-1)(3x+7)(2x+5)} \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

• Нуль числителя: $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$.
• Нули знаменателя: $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$; $3x + 7 = 0 \Rightarrow x = -\frac{7}{3}$; $2x + 5 = 0 \Rightarrow x = -\frac{5}{2}$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Точка $x=-2$ будет закрашенной (входит в решение), а точки $x=1, x=-\frac{7}{3}, x=-\frac{5}{2}$ будут выколотыми (не входят в решение). Расположим точки в порядке возрастания: $-\frac{5}{2}$ (-2.5), $-\frac{7}{3}$ (?-2.33), $-2$, $1$.

Определим знаки выражения в каждом интервале:

• При $x > 1$ (например, $x=2$): $\frac{2+2}{(2-1)(3\cdot2+7)(2\cdot2+5)} = \frac{(+)}{(+)(+)(+)} > 0$. Интервал подходит.
• При $-2 < x < 1$ (например, $x=0$): $\frac{0+2}{(0-1)(0+7)(0+5)} = \frac{(+)}{(-)(+)(+)} < 0$. Интервал не подходит.
• При $-\frac{7}{3} < x < -2$ (например, $x=-2.1$): $\frac{-2.1+2}{(-2.1-1)(-2.1\cdot3+7)(-2.1\cdot2+5)} = \frac{(-)}{(-)(+)(+)} > 0$. Интервал подходит.
• При $-\frac{5}{2} < x < -\frac{7}{3}$ (например, $x=-2.4$): $\frac{-2.4+2}{(-2.4-1)(-2.4\cdot3+7)(-2.4\cdot2+5)} = \frac{(-)}{(-)(-)(+)} < 0$. Интервал не подходит.
• При $x < -\frac{5}{2}$ (например, $x=-3$): $\frac{-3+2}{(-3-1)(-3\cdot3+7)(-3\cdot2+5)} = \frac{(-)}{(-)(-)(-)} > 0$. Интервал подходит.

Объединяем интервалы, где выражение неотрицательно, и учитываем, что точка $x=-2$ является решением.

Получаем решение: $x \in (-\infty, -\frac{5}{2}) \cup (-\frac{7}{3}, -2] \cup (1, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -2.5) \cup (-\frac{7}{3}; -2] \cup (1; +\infty)$.