Номер 8.17, страница 59, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

8.17. a) $x^3 = 2 - x$;

б) $x^3 = 10 - x$;

в) $\sqrt{x+1} = 5 - x$;

г) $3x = \sqrt{10 - x}$.

а) $x^3 = 2 - x$

Перепишем уравнение, перенеся все члены с $x$ в левую часть: $x^3 + x = 2$.

Рассмотрим функцию в левой части уравнения: $f(x) = x^3 + x$. Эта функция является суммой двух строго возрастающих на всей числовой оси функций ($y_1=x^3$ и $y_2=x$), следовательно, функция $f(x)$ также является строго возрастающей. Это означает, что каждое свое значение она может принимать только один раз, поэтому уравнение $f(x)=2$ имеет не более одного корня.

Найдем этот корень методом подбора. Проверим целые числа. При $x=1$ получаем:

$1^3 + 1 = 1 + 1 = 2$.

Равенство $2=2$ является верным, значит $x=1$ — корень уравнения. Так как этот корень единственный, других решений нет.

Ответ: $1$

б) $x^3 = 10 - x$

Перенесем $x$ в левую часть: $x^3 + x = 10$.

Функция $f(x) = x^3 + x$ является строго возрастающей (как показано в пункте а)), поэтому уравнение $f(x)=10$ имеет не более одного решения.

Подберем корень. При $x=2$ получаем:

$2^3 + 2 = 8 + 2 = 10$.

Равенство $10=10$ верно, следовательно, $x=2$ — единственный корень уравнения.

Ответ: $2$

в) $\sqrt{x+1} = 5 - x$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$. Значение арифметического квадратного корня неотрицательно, поэтому правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $5-x \ge 0 \Rightarrow x \le 5$. Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in [-1, 5]$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x+1})^2 = (5-x)^2$

$x+1 = 25 - 10x + x^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$x^2 - 11x + 24 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $11$, а их произведение равно $24$. Корнями являются $x_1=3$ и $x_2=8$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ $x \in [-1, 5]$:

• $x_1 = 3$ принадлежит ОДЗ, так как $-1 \le 3 \le 5$.
• $x_2 = 8$ не принадлежит ОДЗ, так как $8 > 5$. Это посторонний корень.

Таким образом, решением является только $x=3$.

Ответ: $3$

г) $3x = \sqrt{10-x}$

Найдем ОДЗ. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $10-x \ge 0 \Rightarrow x \le 10$. Так как правая часть (арифметический корень) неотрицательна, то и левая часть должна быть неотрицательной: $3x \ge 0 \Rightarrow x \ge 0$. ОДЗ уравнения: $x \in [0, 10]$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(3x)^2 = (\sqrt{10-x})^2$

$9x^2 = 10-x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$9x^2 + x - 10 = 0$

Решим его с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-10) = 1 + 360 = 361 = 19^2$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 19}{18}$.

$x_1 = \frac{-1+19}{18} = \frac{18}{18} = 1$

$x_2 = \frac{-1-19}{18} = \frac{-20}{18} = -\frac{10}{9}$

Проверим корни на принадлежность ОДЗ $x \in [0, 10]$:

• $x_1=1$ принадлежит ОДЗ.
• $x_2 = -\frac{10}{9}$ не принадлежит ОДЗ, так как $-\frac{10}{9} < 0$. Это посторонний корень.

Единственным решением является $x=1$.

Ответ: $1$