Номер 8.22, страница 60, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

8.22. a) Приведите пример функции, определённой во всех точках отрезка $[a; b]$, ограниченной на этом отрезке, но не имеющей ни наибольшего, ни наименьшего значений на отрезке $[a; b]$.

б) Приведите пример функции, определённой и ограниченной на $\mathbb{R}$, но не имеющей ни наибольшего, ни наименьшего значений на $\mathbb{R}$.

а)
Для того чтобы функция, определённая на замкнутом отрезке $[a; b]$, не имела ни наибольшего, ни наименьшего значения, она должна быть разрывной. Согласно теореме Вейерштрасса, любая непрерывная на отрезке функция достигает на нём своих точной верхней (наибольшее значение) и точной нижней (наименьшее значение) граней.

Рассмотрим следующий пример функции на отрезке $[a; b]$, где $a < b$.
Определим функцию $f(x)$ следующим образом:
$f(x) = \begin{cases} x, & \text{если } x \in (a, b) \\ \frac{a+b}{2}, & \text{если } x = a \text{ или } x = b \end{cases} $

Проверим, удовлетворяет ли эта функция условиям задачи:

1. Определена во всех точках отрезка $[a; b]$: Да, функция определена для всех $x$ из отрезка $[a; b]$.
2. Ограничена на этом отрезке: Множество значений функции — это объединение интервала $(a, b)$ и числа $\frac{a+b}{2}$. Поскольку $\frac{a+b}{2}$ находится внутри этого интервала, множество значений функции есть $(a, b)$. Этот интервал ограничен снизу числом $a$ и сверху числом $b$. Следовательно, функция ограничена на отрезке $[a; b]$.
3. Не имеет наибольшего значения: Точная верхняя грань (супремум) множества значений функции равна $b$. Однако ни для какого $x \in [a; b]$ значение $f(x)$ не равно $b$. Если $x \in (a, b)$, то $f(x)=x < b$. Если $x=a$ или $x=b$, то $f(x) = \frac{a+b}{2} < b$. Таким образом, наибольшее значение не достигается.
4. Не имеет наименьшего значения: Точная нижняя грань (инфимум) множества значений функции равна $a$. Однако ни для какого $x \in [a; b]$ значение $f(x)$ не равно $a$. Если $x \in (a, b)$, то $f(x)=x > a$. Если $x=a$ или $x=b$, то $f(x) = \frac{a+b}{2} > a$. Таким образом, наименьшее значение не достигается.

Ответ: $f(x) = \begin{cases} x, & \text{если } x \in (a, b) \\ \frac{a+b}{2}, & \text{если } x = a \text{ или } x = b \end{cases} $

б)
Нужно привести пример функции, которая определена и ограничена на всей числовой прямой $\mathbb{R}$, но не достигает своих точных верхней и нижней граней. Такие функции обычно асимптотически приближаются к некоторым горизонтальным линиям при $x \to \infty$ и $x \to -\infty$.

Классическим примером такой функции является арктангенс.
Рассмотрим функцию $f(x) = \arctan(x)$.

Проверим, удовлетворяет ли эта функция условиям задачи:

1. Определена на $\mathbb{R}$: Да, функция $f(x) = \arctan(x)$ определена для всех действительных чисел $x$.
2. Ограничена на $\mathbb{R}$: Множеством значений функции арктангенс является интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Это означает, что для любого $x \in \mathbb{R}$ выполняется неравенство $-\frac{\pi}{2} < \arctan(x) < \frac{\pi}{2}$. Следовательно, функция ограничена.
3. Не имеет наибольшего значения: Точная верхняя грань (супремум) множества значений функции равна $\frac{\pi}{2}$. Однако не существует такого числа $x_0 \in \mathbb{R}$, для которого $\arctan(x_0) = \frac{\pi}{2}$. Функция лишь стремится к этому значению при $x \to +\infty$: $\lim_{x\to+\infty} \arctan(x) = \frac{\pi}{2}$.
4. Не имеет наименьшего значения: Точная нижняя грань (инфимум) множества значений функции равна $-\frac{\pi}{2}$. Аналогично, не существует такого числа $x_0 \in \mathbb{R}$, для которого $\arctan(x_0) = -\frac{\pi}{2}$. Функция стремится к этому значению при $x \to -\infty$: $\lim_{x\to-\infty} \arctan(x) = -\frac{\pi}{2}$.

Другим примером может служить функция $f(x) = \frac{x}{1+|x|}$, множество значений которой — интервал $(-1, 1)$.

Ответ: $f(x) = \arctan(x)$