Номер 8.28, страница 61, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

8.28. Найдите наибольшее значение функции:

а) $y = \frac{2}{x^2 + 1};$

б) $y = \frac{2}{x^4 + 8x^2 + 1};$

в) $y = \frac{2}{x^2 - 4x + 10};$

г) $y = \frac{2}{x^4 - 8x^2 + 17}.$

а) Дана функция $y = \frac{2}{x^2 + 1}$. Чтобы найти наибольшее значение дроби с постоянным положительным числителем, нужно найти наименьшее значение ее знаменателя. Рассмотрим знаменатель $Z(x) = x^2 + 1$. Выражение $x^2$ является неотрицательным для любого действительного числа $x$, то есть $x^2 \ge 0$. Его наименьшее значение равно 0 и достигается при $x = 0$. Следовательно, наименьшее значение знаменателя равно $Z_{min} = 0^2 + 1 = 1$. Наибольшее значение функции $y$ в этом случае составит $y_{max} = \frac{2}{Z_{min}} = \frac{2}{1} = 2$.
Ответ: 2.

б) Дана функция $y = \frac{2}{x^4 + 8x^2 + 1}$. Чтобы найти ее наибольшее значение, найдем наименьшее значение знаменателя $Z(x) = x^4 + 8x^2 + 1$. Поскольку $x^4 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$, то слагаемые $x^4$ и $8x^2$ принимают свои наименьшие значения, равные нулю, одновременно при $x = 0$. Таким образом, наименьшее значение знаменателя достигается при $x=0$ и равно $Z_{min} = 0^4 + 8 \cdot 0^2 + 1 = 1$. Следовательно, наибольшее значение функции $y$ равно $y_{max} = \frac{2}{Z_{min}} = \frac{2}{1} = 2$.
Ответ: 2.

в) Дана функция $y = \frac{2}{x^2 - 4x + 10}$. Для нахождения ее наибольшего значения найдем наименьшее значение знаменателя $Z(x) = x^2 - 4x + 10$. Знаменатель является квадратичной функцией, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх. Наименьшее значение такой функции достигается в ее вершине. Для нахождения минимума выделим полный квадрат: $Z(x) = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 10 = (x - 2)^2 + 6$. Выражение $(x - 2)^2$ всегда неотрицательно, его наименьшее значение равно 0 и достигается при $x = 2$. Таким образом, наименьшее значение знаменателя равно $Z_{min} = 0 + 6 = 6$. Наибольшее значение функции $y$ составляет $y_{max} = \frac{2}{Z_{min}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

г) Дана функция $y = \frac{2}{x^4 - 8x^2 + 17}$. Для нахождения ее наибольшего значения найдем наименьшее значение знаменателя $Z(x) = x^4 - 8x^2 + 17$. Это биквадратное выражение. Произведем замену переменной: пусть $t = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то $t \ge 0$. Выражение для знаменателя примет вид $Z(t) = t^2 - 8t + 17$. Найдем наименьшее значение этой квадратичной функции при $t \ge 0$. Выделим полный квадрат: $Z(t) = (t^2 - 8t + 16) - 16 + 17 = (t - 4)^2 + 1$. Наименьшее значение этого выражения равно 1 и достигается при $t = 4$. Это значение $t$ удовлетворяет условию $t \ge 0$. Вернемся к исходной переменной: $x^2 = t = 4$, что возможно при $x = \pm 2$. Итак, наименьшее значение знаменателя равно $Z_{min} = 1$. Следовательно, наибольшее значение функции $y$ равно $y_{max} = \frac{2}{Z_{min}} = \frac{2}{1} = 2$.
Ответ: 2.