Номер 8.27, страница 61, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

8.27. Найдите наибольшее и/или наименьшее значение функции $y = -2x^2 - 12x + 3$:

a) на отрезке $[-1; 3]$;

б) на луче $(-\infty; -4]$;

в) на луче $[-4; +\infty)$;

г) на $R$.

Заданная функция $y = -2x^2 - 12x + 3$ является квадратичной. Графиком этой функции является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $-2$ (отрицательное число), ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция имеет точку максимума в своей вершине.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$.

Абсцисса (координата $x$) вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. Для данной функции $a = -2$ и $b = -12$. $x_v = -\frac{-12}{2 \cdot (-2)} = -\frac{-12}{-4} = -3$.

Ордината (координата $y$) вершины, которая и является наибольшим значением функции на всей числовой оси, находится подстановкой $x_v$ в уравнение функции: $y_v = y(-3) = -2(-3)^2 - 12(-3) + 3 = -2 \cdot 9 + 36 + 3 = -18 + 36 + 3 = 21$.

Итак, вершина параболы находится в точке $(-3; 21)$.

Вершина параболы $x_v = -3$ не принадлежит отрезку $[-1; 3]$. Так как ветви параболы направлены вниз, а вершина находится левее этого отрезка, функция на отрезке $[-1; 3]$ монотонно убывает. Следовательно, наибольшее значение достигается на левом конце отрезка (в точке $x = -1$), а наименьшее — на правом конце (в точке $x = 3$).

Вычислим значения функции на концах отрезка:
Наибольшее значение: $y_{наиб.} = y(-1) = -2(-1)^2 - 12(-1) + 3 = -2 + 12 + 3 = 13$.
Наименьшее значение: $y_{наим.} = y(3) = -2(3)^2 - 12(3) + 3 = -18 - 36 + 3 = -51$.

Ответ: наибольшее значение функции на отрезке равно $13$, а наименьшее равно $-51$.

Вершина параболы $x_v = -3$ не принадлежит лучу $(-\infty; -4]$. На этом луче, который целиком лежит левее вершины, функция монотонно возрастает. Следовательно, наибольшее значение на этом луче достигается в его крайней правой точке, то есть при $x = -4$.

$y_{наиб.} = y(-4) = -2(-4)^2 - 12(-4) + 3 = -2 \cdot 16 + 48 + 3 = -32 + 48 + 3 = 19$.

Так как при $x \to -\infty$ значение функции $y \to -\infty$, наименьшего значения на данном луче не существует.

Ответ: наибольшее значение равно $19$, наименьшего значения не существует.

Вершина параболы $x_v = -3$ принадлежит лучу $[-4; +\infty)$. Поскольку ветви параболы направлены вниз, наибольшее значение функции на этом луче будет достигаться в вершине.

$y_{наиб.} = y_v = y(-3) = 21$.

Так как при $x \to +\infty$ значение функции $y \to -\infty$, наименьшего значения на данном луче не существует.

Ответ: наибольшее значение равно $21$, наименьшего значения не существует.

Рассматривается вся числовая прямая $R$. Как было установлено, функция является параболой с ветвями, направленными вниз. Ее наибольшее значение достигается в вершине.

$y_{наиб.} = y_v = 21$ (при $x = -3$).

Поскольку ветви параболы уходят в минус бесконечность, наименьшего значения у функции на всей числовой прямой не существует.

Ответ: наибольшее значение равно $21$, наименьшего значения не существует.