Номер 8.21, страница 60, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

8.21. Убедитесь, что функция, график которой изображён на данном рисунке, не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений; задайте эту функцию аналитически:

а) рис. 22;

Для рис. 22 функция $f(x)$ задается как:

$$f(x) = \begin{cases} -x + 1, & x \in [-3, 0) \\ -x, & x \in [0, 4] \end{cases}$$

Рис. 22

б) рис. 23.

Для рис. 23 функция $f(x)$ задается как:

$y = (x - 1)^2 - 2$, при $x \in (-2, 4)$.

Рис. 23

а) рис. 22;

Проанализируем график функции. Область определения функции $D(f) = [-3, 0) \cup (0, 3]$.
Найдём область значений функции. На промежутке $[-3, 0)$ функция убывает. Значение в точке $x=-3$ равно $y(-3) = 1$. При $x \to 0$ слева, значения $y$ стремятся к $-2$, но не достигают этого значения (в точке $(0, -2)$ — выколотая точка). Таким образом, на этом промежутке область значений: $(-2, 1]$.
На промежутке $(0, 3]$ функция также убывает. При $x \to 0$ справа, значения $y$ стремятся к $2$, но не достигают этого значения (в точке $(0, 2)$ — выколотая точка). Значение в точке $x=3$ равно $y(3) = -1$. Таким образом, на этом промежутке область значений: $[-1, 2)$.
Общая область значений функции — это объединение этих двух множеств: $E(f) = (-2, 1] \cup [-1, 2) = (-2, 2)$.
Множество значений представляет собой открытый интервал $(-2, 2)$. Это означает, что у функции есть точная верхняя грань (супремум), равная $2$, и точная нижняя грань (инфимум), равная $-2$. Однако, эти значения не достигаются функцией, поэтому у функции нет ни наибольшего (максимума), ни наименьшего (минимума) значения.

Зададим функцию аналитически. График состоит из двух отрезков прямых. Найдём уравнение для каждого.
1. Для левого отрезка, определённого на $x \in [-3, 0)$, используем точки $(-3, 1)$ и $(0, -2)$. Угловой коэффициент $k = \frac{-2 - 1}{0 - (-3)} = \frac{-3}{3} = -1$. Уравнение прямой: $y = kx + b$. Подставим точку $(-3, 1)$: $1 = -1 \cdot (-3) + b \Rightarrow 1 = 3 + b \Rightarrow b = -2$. Итак, на промежутке $[-3, 0)$ функция задаётся формулой $y = -x - 2$.
2. Для правого отрезка, определённого на $x \in (0, 3]$, используем точки $(0, 2)$ и $(3, -1)$. Угловой коэффициент $k = \frac{-1 - 2}{3 - 0} = \frac{-3}{3} = -1$. Точка $(0, 2)$ является точкой пересечения с осью $y$, поэтому $b=2$. Итак, на промежутке $(0, 3]$ функция задаётся формулой $y = -x + 2$.

Ответ: Функция не имеет наибольшего и наименьшего значений, так как её область значений $E(f)=(-2, 2)$ является открытым интервалом. Аналитически функция задаётся в виде: $f(x) = \begin{cases} -x - 2, & \text{если } -3 \le x < 0 \\ -x + 2, & \text{если } 0 < x \le 3 \end{cases}$

б) рис. 23;

Проанализируем график функции. Область определения функции $D(f) = (-2, 4)$.
Найдём область значений функции. График состоит из нескольких частей. Проанализируем значения на каждой из них.
На промежутке $(-2, -1]$ значения изменяются от $3$ (не включая) до $2$ (включая). Область значений: $[2, 3)$.
На промежутке $(-1, 1) \cup (1, 3]$ график представляет собой параболу с выколотой вершиной. Значения изменяются от $2$ (не включая) до $-2$ (не включая) и обратно до $2$ (включая). Область значений на этом участке: $(-2, 2]$.
В точке $x=1$ значение функции равно $0$.
На промежутке $(3, 4)$ значения изменяются от $2$ (не включая) до $3$ (не включая). Область значений: $(2, 3)$.
Общая область значений функции — это объединение всех этих множеств: $E(f) = [2, 3) \cup (-2, 2] \cup \{0\} \cup (2, 3) = (-2, 3)$.
Множество значений представляет собой открытый интервал $(-2, 3)$. По аналогии с предыдущим пунктом, у функции есть супремум $3$ и инфимум $-2$, но эти значения не достигаются. Следовательно, у функции нет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

Зададим функцию аналитически. График является кусочно-заданным.
1. На промежутке $(-2, -1]$ график — отрезок прямой, проходящий через точки $(-2, 3)$ (выколота) и $(-1, 2)$. Угловой коэффициент $k = \frac{2 - 3}{-1 - (-2)} = -1$. Уравнение: $y - 2 = -1(x - (-1)) \Rightarrow y = -x + 1$.
2. На промежутке $(-1, 3]$ (за исключением точки $x=1$) график является частью параболы. Вершина параболы находится в выколотой точке $(1, -2)$. Уравнение параболы имеет вид $y = a(x-1)^2 - 2$. Для нахождения $a$ используем точку $(0, -1)$, лежащую на параболе: $-1 = a(0-1)^2 - 2 \Rightarrow -1 = a - 2 \Rightarrow a=1$. Итак, уравнение параболы: $y = (x-1)^2 - 2$.
3. В точке $x=1$ функция имеет значение $y=0$ (изолированная точка).
4. На промежутке $(3, 4)$ график — отрезок прямой, проходящий через точки $(3, 2)$ и $(4, 3)$ (выколота). Угловой коэффициент $k = \frac{3 - 2}{4 - 3} = 1$. Уравнение: $y - 2 = 1(x - 3) \Rightarrow y = x - 1$.

Ответ: Функция не имеет наибольшего и наименьшего значений, так как её область значений $E(f)=(-2, 3)$ является открытым интервалом. Аналитически функция задаётся в виде: $f(x) = \begin{cases} -x + 1, & \text{если } -2 < x \le -1 \\ (x-1)^2 - 2, & \text{если } -1 < x < 1 \\ 0, & \text{если } x = 1 \\ (x-1)^2 - 2, & \text{если } 1 < x \le 3 \\ x - 1, & \text{если } 3 < x < 4 \end{cases}$