Номер 8.20, страница 60, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

8.20. Докажите: если функция имеет наибольшее и наименьшее значения на множестве $M$, то она ограничена на этом множестве.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся определениями наибольшего и наименьшего значений функции, а также определением ограниченной функции.

Пусть функция $y=f(x)$ определена на множестве $M$.

По условию, на множестве $M$ функция $f(x)$ имеет наибольшее и наименьшее значения.

Пусть $y_{max}$ — наибольшее значение функции $f(x)$ на множестве $M$. По определению наибольшего значения, это означает, что существует такое число $y_{max}$, что, во-первых, для любого $x \in M$ выполняется неравенство $f(x) \le y_{max}$, и, во-вторых, существует такое $x_1 \in M$, что $f(x_1) = y_{max}$. Неравенство $f(x) \le y_{max}$ для всех $x \in M$ означает, что функция $f(x)$ ограничена сверху на множестве $M$.

Пусть $y_{min}$ — наименьшее значение функции $f(x)$ на множестве $M$. По определению наименьшего значения, это означает, что существует такое число $y_{min}$, что, во-первых, для любого $x \in M$ выполняется неравенство $f(x) \ge y_{min}$, и, во-вторых, существует такое $x_2 \in M$, что $f(x_2) = y_{min}$. Неравенство $f(x) \ge y_{min}$ для всех $x \in M$ означает, что функция $f(x)$ ограничена снизу на множестве $M$.

Таким образом, для любого $x$ из множества $M$ одновременно выполняются два неравенства: $f(x) \ge y_{min}$ и $f(x) \le y_{max}$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $y_{min} \le f(x) \le y_{max}$

Функция называется ограниченной на множестве $M$, если она ограничена на этом множестве и сверху, и снизу. Поскольку мы показали, что функция $f(x)$ ограничена сверху числом $y_{max}$ и снизу числом $y_{min}$, то, по определению, она является ограниченной на множестве $M$.

Также можно воспользоваться эквивалентным определением ограниченной функции: функция $f(x)$ ограничена на множестве $M$, если существует такое число $C > 0$, что для всех $x \in M$ выполняется неравенство $|f(x)| \le C$.

Из полученного двойного неравенства $y_{min} \le f(x) \le y_{max}$ выберем в качестве константы $C$ число $C = \max(|y_{min}|, |y_{max}|)$. Поскольку $y_{min}$ и $y_{max}$ — это действительные числа (значения функции), то $C$ является конечным неотрицательным числом.

Тогда:

• С одной стороны, $f(x) \le y_{max} \le |y_{max}| \le \max(|y_{min}|, |y_{max}|) = C$.
• С другой стороны, $f(x) \ge y_{min} \ge -|y_{min}| \ge -\max(|y_{min}|, |y_{max}|) = -C$.

Объединяя эти результаты, получаем $-C \le f(x) \le C$, что равносильно неравенству $|f(x)| \le C$. Так как это неравенство выполняется для любого $x \in M$, мы доказали, что функция является ограниченной на множестве $M$.

Ответ: Утверждение доказано.