Номер 8.25, страница 61, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

8.25. Докажите, что если $y = x + \frac{1}{x}$, то:

а) при $x < 0$ $y_{\text{наиб}} = -2$;

б) при $x > 0$ $y_{\text{наим}} = 2$.

Для доказательства данных утверждений мы будем использовать алгебраические преобразования и известное свойство, что квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен.

а) при x < 0 y_наиб = -2;

По условию, $x$ является отрицательным числом ($x < 0$). Чтобы упростить анализ, введем новую переменную $z = -x$. Так как $x < 0$, то $z$ будет положительным числом ($z > 0$).

Теперь выразим $y$ через новую переменную $z$:

$y = x + \frac{1}{x} = (-z) + \frac{1}{-z} = -z - \frac{1}{z} = -(z + \frac{1}{z})$.

Наша задача — найти наибольшее значение $y$. Это то же самое, что найти наименьшее значение выражения $z + \frac{1}{z}$ (поскольку $y$ равно этому выражению со знаком минус) при условии, что $z > 0$.

Рассмотрим выражение $z + \frac{1}{z}$ и преобразуем его, выделив полный квадрат:

$z + \frac{1}{z} = (\sqrt{z})^2 - 2 \cdot \sqrt{z} \cdot \frac{1}{\sqrt{z}} + (\frac{1}{\sqrt{z}})^2 + 2 = (\sqrt{z} - \frac{1}{\sqrt{z}})^2 + 2$.

Выражение $(\sqrt{z} - \frac{1}{\sqrt{z}})^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда больше или равно нулю. Следовательно:

$(\sqrt{z} - \frac{1}{\sqrt{z}})^2 \ge 0$

$(\sqrt{z} - \frac{1}{\sqrt{z}})^2 + 2 \ge 2$

Таким образом, $z + \frac{1}{z} \ge 2$. Наименьшее значение выражения $z + \frac{1}{z}$ равно 2. Оно достигается, когда $(\sqrt{z} - \frac{1}{\sqrt{z}})^2 = 0$, то есть при $\sqrt{z} = \frac{1}{\sqrt{z}}$, что дает $z = 1$.

Теперь вернемся к исходной переменной $y$. Мы установили, что $y = -(z + \frac{1}{z})$. Так как $z + \frac{1}{z} \ge 2$, то, умножая обе части неравенства на -1 (и меняя знак неравенства), получаем:

$y \le -2$.

Это означает, что наибольшее значение функции $y$ при $x < 0$ равно -2. Оно достигается при $z=1$, что соответствует $x = -z = -1$.

Ответ: $y_{наиб} = -2$.

б) при x > 0 y_наим = 2.

По условию, $x$ является положительным числом ($x > 0$). Мы хотим доказать, что $y = x + \frac{1}{x} \ge 2$.

Рассмотрим разность между левой и правой частями неравенства:

$x + \frac{1}{x} - 2$.

Приведем это выражение к общему знаменателю:

$x + \frac{1}{x} - 2 = \frac{x^2}{x} + \frac{1}{x} - \frac{2x}{x} = \frac{x^2 - 2x + 1}{x}$.

Числитель дроби является полным квадратом: $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$. Таким образом, выражение принимает вид:

$\frac{(x-1)^2}{x}$.

Поскольку $x > 0$, знаменатель $x$ положителен. Числитель $(x-1)^2$ как квадрат действительного числа всегда неотрицателен (то есть $\ge 0$).

Дробь, у которой числитель неотрицателен, а знаменатель положителен, всегда будет неотрицательной. Следовательно:

$\frac{(x-1)^2}{x} \ge 0$.

Это доказывает, что $x + \frac{1}{x} - 2 \ge 0$, откуда следует, что $x + \frac{1}{x} \ge 2$.

Наименьшее значение функции $y$ равно 2. Это значение достигается, когда разность равна нулю, то есть когда $(x-1)^2 = 0$, что происходит при $x=1$.

Ответ: $y_{наим} = 2$.