Номер 8.32, страница 61, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

8.32. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции для каждого значения параметра a:

a) $y = x^2 - 4x$ на отрезке $[-1; a];$

б) $y = -x^2 + 2x - 3$ на отрезке $[a; 3].$

а) $y = x^2 - 4x$ на отрезке $[-1; a]$

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты вершины параболы:
Абсцисса вершины: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.
Ордината вершины: $y_в = y(2) = 2^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4$.
Вершина находится в точке $(2, -4)$. Функция убывает на промежутке $(-\infty; 2]$ и возрастает на промежутке $[2; +\infty)$.

Отрезок $[-1; a]$ задан, следовательно, $a \ge -1$. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке могут достигаться либо в вершине параболы (если она принадлежит отрезку), либо на его концах.

Наименьшее значение ($y_{наим}$):
1. Если вершина $x_в = 2$ попадает в отрезок $[-1; a]$, то есть при $a \ge 2$, то наименьшее значение функция принимает в вершине: $y_{наим} = y(2) = -4$.
2. Если вершина $x_в = 2$ не попадает в отрезок $[-1; a]$, то есть при $-1 \le a < 2$, то на этом отрезке функция монотонно убывает. Следовательно, наименьшее значение достигается на правом конце отрезка: $y_{наим} = y(a) = a^2 - 4a$.

Наибольшее значение ($y_{наиб}$):
Наибольшее значение достигается на одном из концов отрезка, то есть $y_{наиб} = \max(y(-1), y(a))$.
Вычислим значение в левой точке: $y(-1) = (-1)^2 - 4(-1) = 1 + 4 = 5$.
Значение в правой точке: $y(a) = a^2 - 4a$.
Сравним $y(-1)$ и $y(a)$. Наибольшее значение будет в той точке, которая дальше от абсциссы вершины $x_в = 2$.
1. Если $|a - 2| \le | -1 - 2|$, то есть $|a - 2| \le 3$, что равносильно $-3 \le a - 2 \le 3$, или $-1 \le a \le 5$. В этом случае $y_{наиб} = y(-1) = 5$.
2. Если $|a - 2| > 3$, что, с учетом $a \ge -1$, означает $a > 5$. В этом случае $y_{наиб} = y(a) = a^2 - 4a$.

Объединим результаты:
- При $-1 \le a < 2$: $y_{наим} = a^2 - 4a$, $y_{наиб} = 5$.
- При $2 \le a \le 5$: $y_{наим} = -4$, $y_{наиб} = 5$.
- При $a > 5$: $y_{наим} = -4$, $y_{наиб} = a^2 - 4a$.

Ответ: если $-1 \le a < 2$, то $y_{наим} = a^2 - 4a$, $y_{наиб} = 5$; если $2 \le a \le 5$, то $y_{наим} = -4$, $y_{наиб} = 5$; если $a > 5$, то $y_{наим} = -4$, $y_{наиб} = a^2 - 4a$.

б) $y = -x^2 + 2x - 3$ на отрезке $[a; 3]$

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты вершины параболы:
Абсцисса вершины: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(-1)} = 1$.
Ордината вершины: $y_в = y(1) = -(1)^2 + 2(1) - 3 = -1 + 2 - 3 = -2$.
Вершина находится в точке $(1, -2)$. Функция возрастает на промежутке $(-\infty; 1]$ и убывает на промежутке $[1; +\infty)$.

Отрезок $[a; 3]$ задан, следовательно, $a \le 3$. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке могут достигаться либо в вершине параболы (если она принадлежит отрезку), либо на его концах.

Наибольшее значение ($y_{наиб}$):
1. Если вершина $x_в = 1$ попадает в отрезок $[a; 3]$, то есть при $a \le 1$, то наибольшее значение функция принимает в вершине: $y_{наиб} = y(1) = -2$.
2. Если вершина $x_в = 1$ не попадает в отрезок $[a; 3]$, то есть при $1 < a \le 3$, то на этом отрезке функция монотонно убывает. Следовательно, наибольшее значение достигается на левом конце отрезка: $y_{наиб} = y(a) = -a^2 + 2a - 3$.

Наименьшее значение ($y_{наим}$):
Наименьшее значение достигается на одном из концов отрезка, то есть $y_{наим} = \min(y(a), y(3))$.
Вычислим значение в правой точке: $y(3) = -(3)^2 + 2(3) - 3 = -9 + 6 - 3 = -6$.
Значение в левой точке: $y(a) = -a^2 + 2a - 3$.
Сравним $y(a)$ и $y(3)$. Наименьшее значение будет в той точке, которая дальше от абсциссы вершины $x_в = 1$.
1. Если $|a - 1| \le |3 - 1|$, то есть $|a - 1| \le 2$, что равносильно $-2 \le a - 1 \le 2$, или $-1 \le a \le 3$. В этом случае $y_{наим} = y(3) = -6$.
2. Если $|a - 1| > 2$, что, с учетом $a \le 3$, означает $a < -1$. В этом случае $y_{наим} = y(a) = -a^2 + 2a - 3$.

Объединим результаты:
- При $a < -1$: $y_{наиб} = -2$, $y_{наим} = -a^2 + 2a - 3$.
- При $-1 \le a \le 1$: $y_{наиб} = -2$, $y_{наим} = -6$.
- При $1 < a \le 3$: $y_{наиб} = -a^2 + 2a - 3$, $y_{наим} = -6$.

Ответ: если $a < -1$, то $y_{наиб} = -2$, $y_{наим} = -a^2 + 2a - 3$; если $-1 \le a \le 1$, то $y_{наиб} = -2$, $y_{наим} = -6$; если $1 < a \le 3$, то $y_{наиб} = -a^2 + 2a - 3$, $y_{наим} = -6$.