Номер 8.34, страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

8.34. Докажите теорему: если функции $y = f(x)$, $y = g(x)$ определены на множестве $X$ и наибольшее значение одной из этих функций на $X$, равное $A$, совпадает с наименьшим значением другой функции на том же множестве, то уравнение $f(x) = g(x)$ равносильно на $X$ системе уравнений $\begin{cases} f(x) = A, \\ g(x) = A. \end{cases}$

Для доказательства равносильности (эквивалентности) уравнения $f(x) = g(x)$ и системы $\begin{cases} f(x) = A \\ g(x) = A \end{cases}$ на множестве $X$ необходимо показать, что любое решение уравнения является решением системы, и, наоборот, любое решение системы является решением уравнения.

По условию теоремы, наибольшее значение одной из функций на множестве $X$ равно $A$, а наименьшее значение другой функции на том же множестве также равно $A$. Существует два симметричных случая. Рассмотрим один из них, не умаляя общности.

Пусть наибольшее значение функции $y=f(x)$ на множестве $X$ равно $A$, а наименьшее значение функции $y=g(x)$ на том же множестве равно $A$. Математически это записывается так:
$\max_{x \in X} f(x) = A$
$\min_{x \in X} g(x) = A$

Из определения наибольшего и наименьшего значений функции следует, что для любого $x \in X$ выполняются неравенства:
$f(x) \le A$
$g(x) \ge A$

Объединив эти два неравенства, получаем, что для любого $x \in X$ справедливо двойное неравенство: $f(x) \le A \le g(x)$.

Теперь докажем равносильность.
Доказательство в одну сторону ($\Rightarrow$): Предположим, что $x_0 \in X$ является решением уравнения $f(x) = g(x)$, то есть $f(x_0) = g(x_0)$. Для этого $x_0$ также должно выполняться неравенство $f(x_0) \le A \le g(x_0)$. Подставив в него условие $f(x_0) = g(x_0)$, получим $f(x_0) \le A \le f(x_0)$. Данное неравенство верно только в случае равенства всех его частей: $f(x_0) = A$. Поскольку $f(x_0) = g(x_0)$, то и $g(x_0) = A$. Таким образом, $x_0$ является решением системы $\begin{cases} f(x) = A \\ g(x) = A \end{cases}$.

Доказательство в обратную сторону ($\Leftarrow$): Предположим, что $x_0 \in X$ является решением системы $\begin{cases} f(x) = A \\ g(x) = A \end{cases}$. Это по определению означает, что $f(x_0) = A$ и $g(x_0) = A$. Из этих двух равенств очевидно следует, что $f(x_0) = g(x_0)$. Следовательно, $x_0$ является решением уравнения $f(x) = g(x)$.

Таким образом, мы показали, что множества решений уравнения и системы полностью совпадают. Второй случай, когда $\max_{x \in X} g(x) = A$ и $\min_{x \in X} f(x) = A$, доказывается полностью аналогично, исходя из неравенства $g(x) \le A \le f(x)$, которое выполняется для всех $x \in X$. Теорема доказана.

Ответ: Доказательство теоремы основано на том факте, что из её условий (например, $\max_{x \in X} f(x) = A$ и $\min_{x \in X} g(x) = A$) следует, что для любого $x$ из множества $X$ выполняется неравенство $f(x) \le A \le g(x)$. Равенство $f(x) = g(x)$ возможно тогда и только тогда, когда обе части этого неравенства "схлопываются", то есть когда $f(x) = g(x) = A$. Это и доказывает равносильность исходного уравнения и системы.