Номер 8.29, страница 61, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

8.29. Используя результаты упражнения 8.25, найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

а) $y = \frac{2x}{x^2 + 1}$;

б) $y = \frac{4x - 4}{x^2 - 2x + 17}$;

в) $y = \frac{10x}{x^2 + 4}$;

г) $y = \frac{49(x - 2)}{x^2 - 4x + 53}$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений данных функций мы воспользуемся методом, основанным на неравенстве о средних арифметическом и геометрическом (неравенство Коши) или преобразованием выражения к виду, где оценка области значений становится очевидной. Общая идея состоит в том, чтобы свести каждую функцию к виду $y = f(t)$, где $t$ — некоторая замена, и затем найти экстремумы функции $f(t)$.

а) $y = \frac{2x}{x^2 + 1}$

Область определения функции — все действительные числа, так как знаменатель $x^2 + 1 > 0$ при любом $x$.

Если $x = 0$, то $y = 0$.

Если $x > 0$, разделим числитель и знаменатель дроби на $x$:

$y = \frac{2}{x + \frac{1}{x}}$

По неравенству Коши для положительных чисел $x$ и $\frac{1}{x}$ имеем: $x + \frac{1}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2$.

Так как знаменатель $x + \frac{1}{x} \ge 2$, то значение дроби $y = \frac{2}{x + \frac{1}{x}} \le \frac{2}{2} = 1$. Равенство достигается, когда $x = \frac{1}{x}$, то есть $x^2=1$, что при $x > 0$ дает $x=1$. Таким образом, наибольшее значение функции равно 1.

Если $x < 0$, сделаем замену $x = -t$, где $t > 0$. Функция примет вид:

$y = \frac{2(-t)}{(-t)^2 + 1} = -\frac{2t}{t^2 + 1}$

Поскольку для $t > 0$ мы уже установили, что $0 < \frac{2t}{t^2 + 1} \le 1$, то для $y$ получаем: $-1 \le y < 0$. Наименьшее значение, равное -1, достигается, когда $\frac{2t}{t^2 + 1}$ максимально, то есть равно 1. Это происходит при $t=1$, что соответствует $x=-1$.

Объединяя все случаи, получаем, что область значений функции — отрезок $[-1, 1]$.

Ответ: наибольшее значение функции равно 1, наименьшее значение равно -1.

б) $y = \frac{4x - 4}{x^2 - 2x + 17}$

Сначала преобразуем знаменатель, выделив полный квадрат: $x^2 - 2x + 17 = (x^2 - 2x + 1) + 16 = (x - 1)^2 + 16$.

Числитель можно представить как $4x - 4 = 4(x - 1)$.

Тогда функция примет вид: $y = \frac{4(x - 1)}{(x - 1)^2 + 16}$.

Произведем замену переменной: пусть $t = x - 1$. Тогда функция станет $y = \frac{4t}{t^2 + 16}$.

Если $t > 0$, разделим числитель и знаменатель на $t$: $y = \frac{4}{t + \frac{16}{t}}$.

По неравенству Коши: $t + \frac{16}{t} \ge 2\sqrt{t \cdot \frac{16}{t}} = 2\sqrt{16} = 8$.

Следовательно, $y \le \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$. Равенство достигается при $t = \frac{16}{t}$, то есть $t^2=16$, $t=4$. Возвращаясь к исходной переменной: $x-1=4 \implies x=5$. Наибольшее значение равно $\frac{1}{2}$.

Если $t < 0$, пусть $t = -z$, где $z > 0$. Тогда $y = \frac{-4z}{z^2 + 16} = -(\frac{4z}{z^2 + 16})$. Так как $\frac{4z}{z^2 + 16} \le \frac{1}{2}$, то $y \ge -\frac{1}{2}$. Наименьшее значение $-\frac{1}{2}$ достигается при $z=4$, т.е. $t=-4$, что дает $x-1=-4 \implies x=-3$.

Ответ: наибольшее значение функции равно $\frac{1}{2}$, наименьшее значение равно $-\frac{1}{2}$.

в) $y = \frac{10x}{x^2 + 4}$

Знаменатель $x^2+4$ всегда положителен. При $x=0$, $y=0$.

Если $x > 0$, разделим числитель и знаменатель на $x$: $y = \frac{10}{x + \frac{4}{x}}$.

По неравенству Коши: $x + \frac{4}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{4}{x}} = 2\sqrt{4} = 4$.

Отсюда $y \le \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$. Равенство достигается при $x = \frac{4}{x}$, то есть $x^2=4$, $x=2$. Наибольшее значение равно $\frac{5}{2}$.

Если $x < 0$, замена $x = -t$ ($t>0$) дает $y = -\frac{10t}{t^2 + 4}$. Так как $\frac{10t}{t^2 + 4} \le \frac{5}{2}$, то $y \ge -\frac{5}{2}$. Наименьшее значение $-\frac{5}{2}$ достигается при $t=2$, то есть $x=-2$.

Ответ: наибольшее значение функции равно $\frac{5}{2}$, наименьшее значение равно $-\frac{5}{2}$.

г) $y = \frac{49(x - 2)}{x^2 - 4x + 53}$

Преобразуем знаменатель: $x^2 - 4x + 53 = (x^2 - 4x + 4) + 49 = (x - 2)^2 + 49$.

Функция имеет вид: $y = \frac{49(x - 2)}{(x - 2)^2 + 49}$.

Сделаем замену $t = x - 2$. Получим $y = \frac{49t}{t^2 + 49}$.

Если $t > 0$, $y = \frac{49}{t + \frac{49}{t}}$.

По неравенству Коши: $t + \frac{49}{t} \ge 2\sqrt{t \cdot \frac{49}{t}} = 2\sqrt{49} = 14$.

Следовательно, $y \le \frac{49}{14} = \frac{7}{2}$. Равенство достигается при $t=\frac{49}{t}$, $t^2=49$, $t=7$. Это соответствует $x-2=7 \implies x=9$. Наибольшее значение равно $\frac{7}{2}$.

Если $t < 0$, замена $t = -z$ ($z>0$) дает $y = -\frac{49z}{z^2+49}$. Так как $\frac{49z}{z^2+49} \le \frac{7}{2}$, то $y \ge -\frac{7}{2}$. Наименьшее значение $-\frac{7}{2}$ достигается при $z=7$, т.е. $t=-7$, что дает $x-2=-7 \implies x=-5$.

Ответ: наибольшее значение функции равно $\frac{7}{2}$, наименьшее значение равно $-\frac{7}{2}$.