Номер 8.33, страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

8.33. а) Функция $y = \frac{15x^2 + 60}{x^4 - 16}$ определена только для допустимых целых значений $x$; найдите её наибольшее значение.

б) Функция $y = \frac{14x^2 + 126}{81 - x^4}$ определена только для допустимых целых значений $x$; найдите её наименьшее значение.

а) Дана функция $y = \frac{15x^2 + 60}{x^4 - 16}$.

Сначала найдём область определения функции для допустимых целых значений $x$. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

$x^4 - 16 \neq 0$

Разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов:

$(x^2 - 4)(x^2 + 4) \neq 0$

Выражение $x^2 + 4$ всегда положительно для любого действительного $x$ (и, следовательно, для любого целого $x$), поэтому оно никогда не равно нулю. Условие сводится к:

$x^2 - 4 \neq 0$

$x^2 \neq 4$, что означает $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Таким образом, допустимыми целыми значениями $x$ являются все целые числа, кроме $2$ и $-2$.

Теперь упростим выражение для функции. Вынесем общий множитель в числителе:

$y = \frac{15(x^2 + 4)}{(x^2 - 4)(x^2 + 4)}$

Поскольку $x \neq \pm 2$, выражение $x^2+4$ не равно нулю, и мы можем сократить на него дробь:

$y = \frac{15}{x^2 - 4}$

Чтобы найти наибольшее значение функции $y$, нужно проанализировать знаменатель $x^2 - 4$. Числитель $15$ — это положительная константа. Дробь будет принимать наибольшее значение, когда её знаменатель положителен и принимает наименьшее возможное значение.

Рассмотрим значения знаменателя для различных допустимых целых $x$. Так как значение функции зависит от $x^2$, то $y(x)=y(-x)$, поэтому достаточно проверить значения для неотрицательных целых $x$.

• При $x=0$: знаменатель $x^2-4 = 0-4 = -4$. Значение функции $y = \frac{15}{-4} = -3.75$.
• При $x=1$ (и $x=-1$): знаменатель $x^2-4 = 1-4 = -3$. Значение функции $y = \frac{15}{-3} = -5$.
• При $x=2$ (и $x=-2$): функция не определена.
• При $x=3$ (и $x=-3$): знаменатель $x^2-4 = 9-4 = 5$. Значение функции $y = \frac{15}{5} = 3$.
• При $x=4$ (и $x=-4$): знаменатель $x^2-4 = 16-4 = 12$. Значение функции $y = \frac{15}{12} = 1.25$.

Для целых $|x| < 2$ знаменатель $x^2-4$ отрицателен. Для целых $|x| > 2$ знаменатель $x^2-4$ положителен. Наименьший положительный знаменатель достигается при наименьшем по модулю целом $x$, таком что $|x|>2$, то есть при $x = \pm 3$. В этом случае знаменатель равен $5$, а значение функции $y=3$. При увеличении $|x|$ (для $|x| \ge 3$), значение $x^2-4$ будет расти, а значение функции $y$ будет уменьшаться, оставаясь положительным.

Сравнивая все возможные значения функции, видим, что наибольшее из них равно $3$.

Ответ: 3.

б) Дана функция $y = \frac{14x^2 + 126}{81 - x^4}$.

Найдём область определения функции для допустимых целых значений $x$. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$81 - x^4 \neq 0$

$x^4 \neq 81$, что для действительных чисел означает $x^2 \neq 9$.

Следовательно, $x \neq 3$ и $x \neq -3$.

Допустимыми целыми значениями $x$ являются все целые числа, кроме $3$ и $-3$.

Упростим выражение для функции, разложив числитель и знаменатель на множители:

Числитель: $14x^2 + 126 = 14(x^2 + 9)$.

Знаменатель: $81 - x^4 = (9 - x^2)(9 + x^2)$.

Подставим в функцию:

$y = \frac{14(x^2 + 9)}{(9 - x^2)(9 + x^2)}$

Так как $x^2+9$ всегда больше нуля, мы можем сократить дробь на этот множитель:

$y = \frac{14}{9 - x^2}$

Чтобы найти наименьшее значение функции $y$, нужно проанализировать знаменатель $9 - x^2$. Числитель $14$ — это положительная константа. Наименьшее значение дроби будет достигнуто, когда её знаменатель отрицателен и имеет наименьшее значение (т.е. является отрицательным числом с наибольшим модулем), однако в данном случае мы ищем такое значение знаменателя, которое сделает всю дробь минимальной. Это произойдет, когда знаменатель будет отрицательным и иметь наименьшую абсолютную величину.

Рассмотрим значения функции для различных допустимых целых $x$:

• При $x=0$: знаменатель $9-x^2 = 9$. Значение функции $y = \frac{14}{9}$.
• При $x=\pm 1$: знаменатель $9-x^2 = 8$. Значение функции $y = \frac{14}{8} = 1.75$.
• При $x=\pm 2$: знаменатель $9-x^2 = 5$. Значение функции $y = \frac{14}{5} = 2.8$.
• При $x=\pm 3$: функция не определена.
• При $x=\pm 4$: знаменатель $9-x^2 = 9-16 = -7$. Значение функции $y = \frac{14}{-7} = -2$.
• При $x=\pm 5$: знаменатель $9-x^2 = 9-25 = -16$. Значение функции $y = \frac{14}{-16} = -0.875$.

При $|x| < 3$, знаменатель $9 - x^2$ положителен, и значения функции $y$ также положительны.

При $|x| > 3$, знаменатель $9 - x^2$ отрицателен, и значения функции $y$ отрицательны. Чтобы найти наименьшее значение $y$, нам нужен отрицательный знаменатель, который сделает дробь наиболее отрицательной. Это происходит, когда знаменатель является отрицательным числом с наименьшим модулем. Это условие выполняется для целого $x$, при котором $x^2$ является наименьшим квадратом целого числа, большего $9$. Таким $x^2$ является $16$, что соответствует $x = \pm 4$. При этих значениях знаменатель равен $9 - 16 = -7$, а $y = -2$.

При дальнейшем увеличении $|x|$ (например, $|x|=5$), знаменатель $9-x^2$ становится более отрицательным (например, $-16$), но значение $y$ ($-\frac{14}{16} = -0.875$) становится ближе к нулю, то есть увеличивается.

Сравнивая все полученные значения, наименьшим является $-2$.

Ответ: -2.